Lernen Einführungen in Ableitungen | Mathematische Analysis

Definition

Eine Ableitung ist ein Maß dafür, wie sich eine Funktion verändert, wenn sich ihr Eingabewert ändert. Sie stellt die Änderungsrate der Funktion dar und ist grundlegend für die Analyse von Trends, die Optimierung von Prozessen und die Vorhersage von Verhalten in Bereichen wie Physik, Wirtschaft und maschinellem Lernen.

Die Grenzwertdefinition der Ableitung

Die Ableitung einer Funktion $f(x)$ an einer bestimmten Stelle $x = a$ ist definiert durch:

\lim_{h \rarr 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Diese Formel beschreibt, wie stark sich $f(x)$ verändert, wenn wir einen sehr kleinen Schritt $h$ entlang der x-Achse machen. Je kleiner $h$ wird, desto näher kommen wir an die momentane Änderungsrate heran.

Grundlegende Ableitungsregeln

Potenzregel

Ist eine Funktion eine Potenz von $x$ , gilt für die Ableitung:

\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}

Das bedeutet, beim Ableiten wird der Exponent nach vorne gezogen und um eins verringert:

\frac{d}{dx}x^3=3x^2

Konstante-Regel

Die Ableitung einer beliebigen Konstante ist null:

\frac{d}{dx}C=0

Beispielsweise, wenn $f(x) = 5$ , dann gilt:

\frac{d}{dx}5=0

Summen- und Differenzenregel

Die Ableitung einer Summe oder Differenz von Funktionen ergibt sich wie folgt:

\frac{d}{dx} \left[ f(x) \pm g(x) \right] = f'(x) \pm g'(x)

Zum Beispiel, getrennte Ableitung:

\frac{d}{dx}(x^3 + 2x) = 3x^2 + 2

Produkt- und Quotientenregel

Produktregel

Werden zwei Funktionen multipliziert, so ergibt sich die Ableitung wie folgt:

\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Das bedeutet, jede Funktion wird einzeln abgeleitet und anschließend werden die Produkte addiert. Wenn $f(x)=x^2$ und $g(x) = e^x$ , dann gilt:

\frac{d}{dx}[x^2e^x] = 2xe^x + x^2e^x

Quotientenregel

Beim Dividieren von Funktionen gilt:

\frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}

Wenn $f(x)=x^2$ und $g(x)=x+1$ , dann:

\frac{d}{dx} \left[ \frac{x^2}{x + 1} \right] = \frac{2x(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2}

Kettenregel: Ableitung von verketteten Funktionen

Beim Ableiten von verschachtelten Funktionen gilt:

\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Beispielsweise, wenn $y = (3x + 2)^5$ , dann:

\frac{d}{dx}(3x+2)^5 = 5(3x+2)^4 \cdot 3 = 15(3x+2)^4

Diese Regel ist grundlegend in neuronalen Netzen und Algorithmen des maschinellen Lernens.

Beispiel zur Kettenregel bei Exponentialfunktionen:

Beim Ableiten von Ausdrücken wie:

y =e^{2x^2}

liegt eine verkettete Funktion vor:

Äußere Funktion: $e^u$
Innere Funktion: $u = 2x^2$

Die Kettenregel wird schrittweise angewendet:

\frac{d}{dx}2x^2=4x

Anschließend mit der ursprünglichen Exponentialfunktion multiplizieren:

\frac{d}{dx}\left( e^{2x^2} \right) = 4x \cdot e^{2x^2}

Weiterführende Studien

Im maschinellen Lernen und bei neuronalen Netzen tritt dies beim Arbeiten mit exponentiellen Aktivierungen oder Verlustfunktionen auf.

Beispiel für die Kettenregel bei Logarithmen:

Wir differenzieren $\ln(2x)$ . Auch hier handelt es sich um eine zusammengesetzte Funktion — Logarithmus außen, linear innen.

Differenzieren des inneren Teils:

\frac{d}{dx}(2x)=2

Nun die Kettenregel auf den Logarithmus anwenden:

\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{1}{2x} \cdot 2

Dies vereinfacht sich zu:

\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}

Hinweis

Auch wenn Sie $\ln(kx)$ differenzieren, ist das Ergebnis immer $\frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}}$ , da sich die Konstanten herauskürzen.

Spezialfall: Ableitung der Sigmoidfunktion

Die Sigmoidfunktion wird häufig im maschinellen Lernen verwendet:

\sigma(x) = \frac{1}{1+x^{-x}}

Ihre Ableitung spielt eine entscheidende Rolle bei der Optimierung:

\sigma'(x) = \sigma(x)(1 - \sigma(x))

Wenn $f(x) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-3pt}{$1 + e^{-x}$}}$ , dann gilt:

f'(x) = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2}

Diese Formel stellt sicher, dass die Gradienten während des Trainings glatt bleiben.

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Abschnitt 3. Kapitel 3

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