Lernen Grenzwerte in Python Implementieren

Bevor Sie untersuchen, wie sich Grenzwerte visuell verhalten, müssen Sie wissen, wie man sie direkt berechnet mit der Bibliothek sympy. Hier sind drei gängige Typen von Grenzwerten, denen Sie begegnen werden.

1. Endlicher Grenzwert

Dieses Beispiel zeigt eine Funktion, die sich einem bestimmten endlichen Wert nähert, wenn $x \to 2$ .


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import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (x**2 - 4) / (x - 2)

# Compute the limit as x approaches 2
limit_value = sp.limit(f, x, 2)
print("Limit of f(x) as x approaches 2:", limit_value)

2. Grenzwert, der nicht existiert

Hier verhält sich die Funktion von der linken und rechten Seite unterschiedlich, daher existiert der Grenzwert nicht.


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import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (2 - x)

# Compute the limit as x approaches infinity and negative infinity
left_limit = sp.limit(f, x, -sp.oo)
right_limit = sp.limit(f, x, sp.oo)

print("Left-hand limit:", left_limit)
print("Right-hand limit:", right_limit)

3. Unendlicher Grenzwert

Dieses Beispiel zeigt eine Funktion, die sich gegen Null annähert, wenn (x) unendlich groß wird.


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import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = 1 / x

# Compute the limit as x approaches infinity
limit_value = sp.limit(f, x, sp.oo)
print("Limit of 1/x as x approaches infinity:", limit_value)

Diese kurzen Codebeispiele zeigen, wie sympy.limit() verwendet wird, um verschiedene Arten von Grenzwerten zu berechnen – endliche, undefinierte und unendliche – bevor sie grafisch analysiert werden.

Definition der Funktionen

f_diff = (2 - x)  # Approaches 2 as x → -∞ and -∞ as x → +∞
f_same = 1 / x  # Approaches 0 as x → ±∞
f_special = sp.sin(x) / x  # Special limit sin(x)/x

f_diff: Eine einfache lineare Funktion, bei der sich der links- und rechtsseitige Grenzwert unterscheiden;
f_same: Die klassische Kehrwertfunktion, die sich von beiden Seiten demselben Grenzwert nähert;
f_special: Ein bekannter Grenzwert in der Analysis, der 1 ergibt, wenn $x \to 0$ .

Umgang mit Division durch Null

y_vals_same = [f_same.subs(x, val).evalf() if val != 0 else np.nan for val in x_vals]
y_vals_special = [f_special.subs(x, val).evalf() if val != 0 else 1 for val in x_vals]

Die Funktion f_same = 1/x ist bei $x = 0$ (Division durch Null) nicht definiert, daher wird an dieser Stelle NaN (Not a Number) eingesetzt, um Fehler zu vermeiden;
Für f_special ist bekannt, dass $\lim_{\raisebox{-1pt}{$x \to 0$}}\frac{\raisebox{1pt}{$sin(x)$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}} = 1$ gilt, daher wird für $x = 0$ manuell $1$ zugewiesen.

Zeichnen von horizontalen Asymptoten

axs[1].axhline(0, color='blue', linestyle='dashed', linewidth=2, label='y = 0 (horizontal asymptote)')
axs[2].axhline(1, color='red', linestyle='dashed', linewidth=2, label=r"$y = 1$ (horizontal asymptote)")

Die Funktion 1/x besitzt eine horizontale Asymptote bei $y = 0$ ;
Die Funktion sin(x)/x nähert sich $y = 1$ an, daher wird eine gestrichelte rote Linie zur besseren Visualisierung hinzugefügt.

War alles klar?

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Abschnitt 3. Kapitel 2

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Suggested prompts:

Can you explain more about how to interpret the results of these limits?

What is the significance of horizontal asymptotes in these examples?

Could you provide more details about the special limit involving sin(x)/x?

Awesome!

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