Lernen Grenzwerte in Python Implementieren

Bevor Sie untersuchen, wie sich Grenzwerte visuell verhalten, müssen Sie wissen, wie man sie direkt berechnet mit der sympy-Bibliothek. Hier sind drei gängige Typen von Grenzwerten, denen Sie begegnen werden.

1. Endlicher Grenzwert

Dieses Beispiel zeigt eine Funktion, die sich einem bestimmten endlichen Wert nähert, wenn $x \to 2$ .


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import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (x**2 - 4) / (x - 2)

# Compute the limit as x approaches 2
limit_value = sp.limit(f, x, 2)
print("Limit of f(x) as x approaches 2:", limit_value)

2. Grenzwert, der nicht existiert

Hier verhält sich die Funktion von der linken und rechten Seite unterschiedlich, daher existiert der Grenzwert nicht.


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import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (2 - x)

# Compute the limit as x approaches infinity and negative infinity
left_limit = sp.limit(f, x, -sp.oo)
right_limit = sp.limit(f, x, sp.oo)

print("Left-hand limit:", left_limit)
print("Right-hand limit:", right_limit)

3. Unendlicher Grenzwert

Dieses Beispiel zeigt eine Funktion, die sich gegen Null annähert, wenn (x) unendlich groß wird.


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import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = 1 / x

# Compute the limit as x approaches infinity
limit_value = sp.limit(f, x, sp.oo)
print("Limit of 1/x as x approaches infinity:", limit_value)

Diese kurzen Codebeispiele zeigen, wie sympy.limit() verwendet wird, um verschiedene Arten von Grenzwerten zu berechnen – endliche, undefinierte und unendliche – bevor diese grafisch analysiert werden.

Definition der Funktionen

f_diff = (2 - x)  # Approaches +∞ as x → -∞ and -∞ as x → +∞
f_same = 1 / x  # Approaches 0 as x → ±∞
f_special = sp.sin(x) / x  # Special limit sin(x)/x

f_diff: Eine einfache lineare Funktion, bei der die links- und rechtsseitigen Grenzwerte auseinanderlaufen;
f_same: Die klassische Kehrwertfunktion, die sich von beiden Seiten demselben Grenzwert nähert;
f_special: Ein bekannter Grenzwert in der Analysis, der 1 ergibt, wenn $x \to 0$ .

Umgang mit Division durch Null

y_vals_same = [f_same.subs(x, val).evalf() if val != 0 else np.nan for val in x_vals]
y_vals_special = [f_special.subs(x, val).evalf() if val != 0 else 1 for val in x_vals]

Die Funktion f_same = 1/x hat ein Problem bei $x = 0$ (Division durch Null), daher wird dieser Wert durch NaN (Not a Number) ersetzt, um Fehler zu vermeiden;
Für f_special ist bekannt, dass $\lim_{\raisebox{-1pt}{$x \to 0$}}\frac{\raisebox{1pt}{$sin(x)$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}} = 1$ , daher wird für $x = 0$ manuell $1$ zugewiesen.

Zeichnen von horizontalen Asymptoten

axs[1].axhline(0, color='blue', linestyle='dashed', linewidth=2, label='y = 0 (horizontal asymptote)')
axs[2].axhline(1, color='red', linestyle='dashed', linewidth=2, label=r"$y = 1$ (horizontal asymptote)")

Die Funktion 1/x besitzt eine horizontale Asymptote bei $y = 0$ ;
Die Funktion sin(x)/x nähert sich $y = 1$ an, daher wird eine gestrichelte rote Linie zur besseren Visualisierung hinzugefügt.

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Abschnitt 3. Kapitel 2

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