Überblick über Mengen

Eine Menge ist eine Sammlung von unterschiedlichen Objekten, sogenannten Elementen, die zusammengefasst werden. Mengen werden mit geschweiften Klammern dargestellt, zum Beispiel:

Wichtige Notation:

• Ist $x$ ein Element der Menge $A$, so schreibt man $x \in A$.
• Ist $x$ nicht in $A$, so schreibt man $x \notin A$.

Mengentypen

• Endliche Mengen: Mengen mit einer begrenzten Anzahl von Elementen;

• Unendliche Mengen: Mengen mit unendlich vielen Elementen;

• Leere Mengen: Mengen ohne Elemente, dargestellt durch $\emptyset$;

• Teilmenge: Eine Menge $A$ ist eine Teilmenge von $B$, wenn alle Elemente von $A$ auch in $B$ enthalten sind;

• Universalmengen: Die Menge aller möglichen Elemente in einem bestimmten Kontext, dargestellt durch $U$;

• Potenzmengen: Die Menge aller Teilmengen einer Menge.

Mengenoperationen

Mengen ermöglichen verschiedene Operationen zum Vergleichen und Manipulieren von Daten. Zu den wichtigsten Operationen gehören (für $A = \{1,2\},\ B = \{2,3\}$):

• Vereinigung: kombiniert Elemente aus den Mengen $A$ und $B$;

• Durchschnitt: findet gemeinsame Elemente zwischen den Mengen $A$ und $B$;

• Differenz: Elemente in $A$, die nicht in $B$ enthalten sind;

• Komplement: Elemente, die nicht in $A$, aber in der Grundmenge $U$ enthalten sind;

• Kartesisches Produkt: die Menge aller geordneten Paare zwischen den Mengen $A$ und $B$.

Anwendungen in der Praxis

Mengen sind entscheidend für die Lösung von Problemen in Data Science und Analytik:

• Datenorganisation: Gruppierung von eindeutigen Elementen (z. B. unterschiedliche Kunden-IDs);
• Datenbereinigung: Entfernen von Duplikaten mithilfe von Mengeneigenschaften;
• Mengenoperationen: Finden von Schnittmengen (gemeinsame Merkmale) oder Differenzen (einzigartige Merkmale) in Datensätzen;
• Wahrscheinlichkeit: Berechnung von Vereinigungen oder Schnittmengen von Ereignissen;
• Datenbankabfragen: Verwendung von Mengen zur Durchführung von Operationen wie Joins, Vereinigungen und Differenzen.