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Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Lernen Einführung in Reihen | Mengen und Reihen
Mathematik für Data Science

bookEinführung in Reihen

Note
Definition

Eine Reihe ist ein mathematischer Ausdruck, der durch das Addieren der Glieder einer Folge entsteht. Die gebräuchlichsten Typen sind die arithmetische Reihe und die geometrische Reihe, die sich in der Art der Gliederfortschreitung unterscheiden.

Arithmetische Reihe

Eine arithmetische Reihe entsteht, wenn die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern einer Folge konstant ist.

2,5,8,11,14,...;(gemeinsame Differenz,d=3)2, 5, 8, 11, 14, ...; (\text{gemeinsame Differenz}, d = 3)

Die Summe der ersten nn Glieder einer arithmetischen Reihe wird berechnet durch:

Sn=n2⋅(a+l)S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l)

Dabei gilt:

  • nn – Anzahl der Glieder;
  • aa – erstes Glied;
  • ll – letztes Glied.

Alternativ, falls das letzte Glied ll nicht bekannt ist:

Sn=n2⋅(2a+(n−1)⋅d)S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n - 1) \cdot d)

Beispiel

Berechnung der Summe der ersten 10 Glieder der Reihe 2,5,8,...2,5,8,...

S10=102⋅(2+(10−1)⋅3)=5⋅(2+27)=145S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 + (10 - 1) \cdot 3) = 5 \cdot (2 + 27) = 145

Geometrische Reihen

Eine geometrische Reihe entsteht, wenn jedes Glied der Folge mit einem festen Verhältnis multipliziert wird, um das nächste Glied zu erhalten.

3,6,12,24,48,...;(common ratio,r=2)3,6,12,24,48,...;(\text{common ratio}, r=2)

Die Summe der ersten nn Glieder einer geometrischen Reihe wird berechnet durch:

Sn=a⋅1−rn1−r, r≠1S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r},\ r \neq 1

Dabei gilt:

  • aa – erstes Glied;
  • rr – gemeinsames Verhältnis;
  • nn – Anzahl der Glieder.

Ist die Reihe unendlich und ∣r∣<1|r|<1:

S=a1−rS = \frac{a}{1 - r}

Beispiel:

Berechnung der Summe der ersten 4 Glieder der Reihe 3,6,12,24,...3,6,12,24,...

S4=3⋅1−241−2=3⋅1−16−1=3⋅15=45S_4 = 3 \cdot \frac{1-2^4}{1-2} = 3 \cdot \frac{1-16}{-1}=3 \cdot 15 = 45

Anwendungen in der Praxis

Arithmetische und geometrische Reihen treten in vielen Bereichen der Data Science auf:

  • Bevölkerungswachstum und Ressourcenmodellierung durch geometrische Progressionen;
  • Finanzanalyse mittels Zinseszinsberechnungen;
  • Umsatzprognosen über verschiedene Zeiträume;
  • Maschinelles Lernen, bei dem Summenbildungen in Algorithmen wie dem Gradientenabstieg vorkommen.
question mark

a=1a=1, r=0,5r=0{,}5 und n=∞n=\infty, wie lautet die Summe der unendlichen geometrischen Reihe?

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Danke für Ihr Feedback!

Abschnitt 2. Kapitel 4

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Can you explain the difference between arithmetic and geometric series in simpler terms?

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How do I know when to use an arithmetic series formula versus a geometric series formula?

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Definition

Eine Reihe ist ein mathematischer Ausdruck, der durch das Addieren der Glieder einer Folge entsteht. Die gebräuchlichsten Typen sind die arithmetische Reihe und die geometrische Reihe, die sich in der Art der Gliederfortschreitung unterscheiden.

Arithmetische Reihe

Eine arithmetische Reihe entsteht, wenn die Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern einer Folge konstant ist.

2,5,8,11,14,...;(gemeinsame Differenz,d=3)2, 5, 8, 11, 14, ...; (\text{gemeinsame Differenz}, d = 3)

Die Summe der ersten nn Glieder einer arithmetischen Reihe wird berechnet durch:

Sn=n2⋅(a+l)S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l)

Dabei gilt:

  • nn – Anzahl der Glieder;
  • aa – erstes Glied;
  • ll – letztes Glied.

Alternativ, falls das letzte Glied ll nicht bekannt ist:

Sn=n2⋅(2a+(n−1)⋅d)S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n - 1) \cdot d)

Beispiel

Berechnung der Summe der ersten 10 Glieder der Reihe 2,5,8,...2,5,8,...

S10=102⋅(2+(10−1)⋅3)=5⋅(2+27)=145S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 + (10 - 1) \cdot 3) = 5 \cdot (2 + 27) = 145

Geometrische Reihen

Eine geometrische Reihe entsteht, wenn jedes Glied der Folge mit einem festen Verhältnis multipliziert wird, um das nächste Glied zu erhalten.

3,6,12,24,48,...;(common ratio,r=2)3,6,12,24,48,...;(\text{common ratio}, r=2)

Die Summe der ersten nn Glieder einer geometrischen Reihe wird berechnet durch:

Sn=a⋅1−rn1−r, r≠1S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r},\ r \neq 1

Dabei gilt:

  • aa – erstes Glied;
  • rr – gemeinsames Verhältnis;
  • nn – Anzahl der Glieder.

Ist die Reihe unendlich und ∣r∣<1|r|<1:

S=a1−rS = \frac{a}{1 - r}

Beispiel:

Berechnung der Summe der ersten 4 Glieder der Reihe 3,6,12,24,...3,6,12,24,...

S4=3⋅1−241−2=3⋅1−16−1=3⋅15=45S_4 = 3 \cdot \frac{1-2^4}{1-2} = 3 \cdot \frac{1-16}{-1}=3 \cdot 15 = 45

Anwendungen in der Praxis

Arithmetische und geometrische Reihen treten in vielen Bereichen der Data Science auf:

  • Bevölkerungswachstum und Ressourcenmodellierung durch geometrische Progressionen;
  • Finanzanalyse mittels Zinseszinsberechnungen;
  • Umsatzprognosen über verschiedene Zeiträume;
  • Maschinelles Lernen, bei dem Summenbildungen in Algorithmen wie dem Gradientenabstieg vorkommen.
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a=1a=1, r=0,5r=0{,}5 und n=∞n=\infty, wie lautet die Summe der unendlichen geometrischen Reihe?

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