Tiefpass- und Hochpassfilter

Einer der Hauptvorteile der Fourier-Transformation ist die Möglichkeit, High-Pass- und Low-Pass-Filter anzuwenden.

Nach der Anwendung der Fourier-Transformation:

dft = np.fft.fft2(image)
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)

muss eine Filter-Maske erstellt werden.

Low-Pass-Filterung (Weichzeichnung)

Ein Low-Pass-Filter entfernt hochfrequente Komponenten, was zu einem verschwommenen Bild führt. Low-Pass-Maske:

rows, cols = image.shape 
crow, ccol = rows // 2, cols // 2 

mask = np.zeros((rows, cols), np.uint8)
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1

• rows, cols = image.shape: Ermittelt die Anzahl der Zeilen und Spalten des Graustufenbildes;
• crow, ccol = rows // 2, cols // 2: Berechnet die Mittelpunktkoordinaten des Bildes;
• mask = np.zeros((rows, cols), np.uint8): Erstellt eine Maske aus Nullen mit denselben Dimensionen wie das Bild;
• mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1: Setzt einen 60×60 Pixel großen Bereich im Zentrum der Maske auf 1, sodass nur die niederfrequenten Komponenten (nahe dem Zentrum des Frequenzbereichs) durchgelassen werden, während hochfrequente Details herausgefiltert werden.

Hochpassfilterung (Kantenerkennung)

Ein Hochpassfilter entfernt niederfrequente Komponenten und hebt Kanten hervor. Hochpass-Maske:

highpass_mask = np.ones((rows, cols), np.uint8)
highpass_mask[crow-5:crow+5, ccol-5:ccol+5] = 0

• highpass_mask = np.ones((rows, cols), np.uint8): Initialisiert eine Maske aus Einsen mit denselben Dimensionen wie das Bild, sodass zunächst alle Frequenzen durchgelassen werden;
• highpass_mask[crow-5:crow+5, ccol-5:ccol+5] = 0: Setzt ein kleines 10×10-Quadrat im Zentrum (Niederfrequenzbereich) auf Null und blockiert damit diese Frequenzen.

Anwendung des Filters

Nach dem Erstellen der Maske muss ein Filter angewendet und das Bild zurück in den Ortsraum transformiert werden:

dft_filtered = dft_shift * mask

dft_inverse = np.fft.ifftshift(dft_filtered) # Inverse shifting
image_filtered = np.fft.ifft2(dft_inverse) # Inverse transformation
image_filtered = np.abs(image_filtered) # Remove negative values

• dft_filtered = dft_shift * mask: wendet die Frequenzbereichsmaske (z. B. Tiefpass oder Hochpass) durch elementweise Multiplikation mit der verschobenen DFT des Bildes an;
• dft_inverse = np.fft.ifftshift(dft_filtered): kehrt die zuvor angewendete Verschiebung um, um die Frequenzkomponenten wieder an ihre ursprünglichen Positionen zu bringen;
• image_filtered = np.fft.ifft2(dft_inverse): berechnet die Inverse Fourier-Transformation, um die gefilterten Frequenzdaten zurück in den Ortsbereich zu überführen;
• image_filtered = np.abs(image_filtered): nimmt den Absolutwert, um verbleibende imaginäre Komponenten zu entfernen, was zu einem reellwertigen gefilterten Bild führt.