Wie GMMs Arbeiten
Das Gaussian Mixture Model (GMM) funktioniert, indem es die Platzierung von Gaußschen Verteilungen iterativ verbessert, um die Daten bestmöglich anzupassen:
- Zufällige Anzahl von Gauss-Verteilungen wählen: Zu Beginn wird die Anzahl der Gaußschen Verteilungen (Cluster) festgelegt, die an die Daten angepasst werden sollen. Diese Anzahl ist oft vorgegeben oder wird mit Methoden wie dem Silhouette-Score bestimmt, der misst, wie gut die Cluster voneinander getrennt sind;
- Berechnung der Verantwortlichkeit: Für jeden Datenpunkt wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, mit der er zu jeder Gaußschen Verteilung gehört. Diese Wahrscheinlichkeit, genannt Verantwortlichkeit, hängt davon ab, wie nah der Punkt am Zentrum jeder Gauß-Verteilung liegt und wie groß deren Streuung (Varianz) ist;
- Verschiebung der Gauss-Verteilungen: Basierend auf den berechneten Verantwortlichkeiten werden die Mittelwerte und Varianzen der Gaußschen Verteilungen aktualisiert, um die Datenpunkte besser abzubilden. Dieser Schritt sorgt dafür, dass sich die Verteilungen schrittweise an die Datenstruktur anpassen;
- Wiederholung der Schritte 2 und 3: Der Prozess der Berechnung der Verantwortlichkeiten und der Verschiebung der Gauss-Verteilungen wird wiederholt, bis das Modell konvergiert.
Wann konvergiert das GMM?
Konvergenz tritt ein, wenn die Änderungen der Parameter der Gaußschen Verteilungen (Mittelwert, Varianz und Gewichte) zwischen den Iterationen sehr gering sind oder unter einen vordefinierten Schwellenwert fallen.
Angenommen, Sie haben zwei Gaußsche Verteilungen, die versuchen, einen Datensatz von Körpergrößen zu clustern. Anfangs könnte eine Gauß-Verteilung bei einer durchschnittlichen Größe von 5 feet zentriert sein und eine andere bei 6 feet. Im Verlauf der Iterationen passen die beiden Gauß-Verteilungen ihre Positionen und Streuungen an. Wenn sich ihre Mittelwerte und Varianzen stabilisieren – z. B. eine bei 5.5 feet und die andere bei 6.2 feet ohne weitere signifikante Anpassungen – dann ist das Modell konvergiert.
Erste Iteration
Nach der Konvergenz
1. Wie weist GMM Datenpunkten Cluster zu?
2. Wie nennt man in GMM den Prozess der Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt zu einem Cluster gehört?
3. Welcher Schritt im GMM beinhaltet die Anpassung der Gaußschen Verteilungen, um die Daten besser zu modellieren?
4. Was bestimmt, wann GMM konvergiert?
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- Berechnung der Verantwortlichkeit: Für jeden Datenpunkt wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, mit der er zu jeder Gaußschen Verteilung gehört. Diese Wahrscheinlichkeit, genannt Verantwortlichkeit, hängt davon ab, wie nah der Punkt am Zentrum jeder Gauß-Verteilung liegt und wie groß deren Streuung (Varianz) ist;
- Verschiebung der Gauss-Verteilungen: Basierend auf den berechneten Verantwortlichkeiten werden die Mittelwerte und Varianzen der Gaußschen Verteilungen aktualisiert, um die Datenpunkte besser abzubilden. Dieser Schritt sorgt dafür, dass sich die Verteilungen schrittweise an die Datenstruktur anpassen;
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Konvergenz tritt ein, wenn die Änderungen der Parameter der Gaußschen Verteilungen (Mittelwert, Varianz und Gewichte) zwischen den Iterationen sehr gering sind oder unter einen vordefinierten Schwellenwert fallen.
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