Lineare Algebraoperationen

TensorFlow bietet eine Reihe von Funktionen für lineare Algebra-Operationen, die Matrixoperationen unkompliziert machen.

Matrixmultiplikation

Hier eine kurze Erinnerung daran, wie Matrixmultiplikation funktioniert.

Es gibt zwei gleichwertige Ansätze für die Matrixmultiplikation:

Die Funktion tf.matmul();
Die Verwendung des Operators @.


              1234567891011121314
            
import tensorflow as tf

# Create two matrices
matrix1 = tf.constant([[1, 2], [3, 4], [2, 1]])
matrix2 = tf.constant([[2, 0, 2, 5], [2, 2, 1, 3]])

# Multiply the matrices
product1 = tf.matmul(matrix1, matrix2)
product2 = matrix1 @ matrix2

# Display tensors
print(product1)
print('-' * 50)
print(product2)

Hinweis

Die Multiplikation von Matrizen der Größe 3x2 und 2x4 ergibt eine Matrix der Größe 3x4.

Matrixinversion

Die Inverse einer Matrix kann mit der Funktion tf.linalg.inv() berechnet werden. Zusätzlich wird eine grundlegende Eigenschaft der inversen Matrix überprüft.


              123456789101112131415
            
import tensorflow as tf

# Create 2x2 matrix
matrix = tf.constant([[1., 2.], [3., 4.]])

# Compute the inverse of a matrix
inverse_mat = tf.linalg.inv(matrix)

# Check the result
identity = matrix @ inverse_mat

# Display tensors
print(inverse_mat)
print('-' * 50)
print(identity)

Hinweis

Die Multiplikation einer Matrix mit ihrer Inversen ergibt eine Einheitsmatrix, die Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen an allen anderen Stellen enthält. Darüber hinaus bietet das Modul tf.linalg eine breite Palette an linearen Algebra-Funktionen. Für weitere Informationen oder fortgeschrittene Operationen empfiehlt sich ein Blick in die offizielle Dokumentation.

Transponieren

Eine transponierte Matrix kann mit der Funktion tf.transpose() erzeugt werden.


              123456789101112
            
import tensorflow as tf

# Create a matrix 3x2
matrix = tf.constant([[1, 2], [3, 4], [2, 1]])

# Get the transpose of a matrix
transposed = tf.transpose(matrix)

# Display tensors
print(matrix)
print('-' * 40)
print(transposed)

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt kann mit der Funktion tf.tensordot() berechnet werden. Durch Festlegen des Arguments axes kann ausgewählt werden, entlang welcher Achsen das Skalarprodukt berechnet wird. Zum Beispiel erhält man für zwei Vektoren mit axes=1 das klassische Skalarprodukt zwischen Vektoren. Wird hingegen axes=0 gesetzt, erhält man eine über die 0-Achse gebroadcastete Matrix:


              1234567891011121314
            
import tensorflow as tf

# Create two vectors
matrix1 = tf.constant([1, 2, 3, 4])
matrix2 = tf.constant([2, 0, 2, 5])

# Compute the dot product of two tensors
dot_product_axes1 = tf.tensordot(matrix1, matrix2, axes=1)
dot_product_axes0 = tf.tensordot(matrix1, matrix2, axes=0)

# Display tensors
print(dot_product_axes1)
print('-' * 40)
print(dot_product_axes0)

Hinweis

Wenn Sie zwei Matrizen mit passenden Dimensionen (NxM @ MxK, wobei NxM die Dimensionen der ersten Matrix und MxK die der zweiten darstellt) nehmen und das Skalarprodukt entlang axes=1 berechnen, wird im Wesentlichen eine Matrixmultiplikation durchgeführt.

Aufgabe

Swipe to start coding

Hintergrund

Ein lineares Gleichungssystem kann in Matrixform durch die Gleichung dargestellt werden:

AX = B

Dabei gilt:

A ist eine Koeffizientenmatrix;
X ist eine Spaltenmatrix der Variablen;
B ist eine Spaltenmatrix, die die Werte auf der rechten Seite der Gleichungen darstellt.

Die Lösung dieses Systems kann mit folgender Formel gefunden werden:

X = A^-1 B

wobei A^-1 die Inverse der Matrix A ist.

Zielsetzung

Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem, das mit TensorFlow gelöst werden soll. Das folgende Gleichungssystem ist gegeben:

2x + 3y - z = 1.
4x + y + 2z = 2.
-x + 2y + 3z = 3.

Darstellung des Gleichungssystems in Matrixform (Aufteilung in die Matrizen A und B).
Mit TensorFlow die Inverse der Matrix A berechnen.
Die Inverse der Matrix A mit der Matrix B multiplizieren, um die Lösungsmatrix X zu erhalten, die die Werte für x, y und z enthält.

Hinweis

Das Slicing in TensorFlow funktioniert ähnlich wie in NumPy. Daher ruft X[:, 0] alle Elemente aus der Spalte mit dem Index 0 ab. Auf das Slicing gehen wir später im Kurs noch genauer ein.

Lösung

War alles klar?

Danke für Ihr Feedback!

Abschnitt 2. Kapitel 2

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Fragen Sie AI

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Suggested prompts:

Can you explain the difference between tf.matmul() and the @ operator?

How do I know when to use tf.tensordot() instead of tf.matmul()?

Can you provide more examples of matrix operations in TensorFlow?

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Lineare Algebraoperationen

TensorFlow bietet eine Reihe von Funktionen für lineare Algebra-Operationen, die Matrixoperationen unkompliziert machen.

Matrixmultiplikation

Hier eine kurze Erinnerung daran, wie Matrixmultiplikation funktioniert.

Es gibt zwei gleichwertige Ansätze für die Matrixmultiplikation:

Die Funktion tf.matmul();
Die Verwendung des Operators @.


              1234567891011121314
            
import tensorflow as tf

# Create two matrices
matrix1 = tf.constant([[1, 2], [3, 4], [2, 1]])
matrix2 = tf.constant([[2, 0, 2, 5], [2, 2, 1, 3]])

# Multiply the matrices
product1 = tf.matmul(matrix1, matrix2)
product2 = matrix1 @ matrix2

# Display tensors
print(product1)
print('-' * 50)
print(product2)

Hinweis

Die Multiplikation von Matrizen der Größe 3x2 und 2x4 ergibt eine Matrix der Größe 3x4.

Matrixinversion

Die Inverse einer Matrix kann mit der Funktion tf.linalg.inv() berechnet werden. Zusätzlich wird eine grundlegende Eigenschaft der inversen Matrix überprüft.


              123456789101112131415
            
import tensorflow as tf

# Create 2x2 matrix
matrix = tf.constant([[1., 2.], [3., 4.]])

# Compute the inverse of a matrix
inverse_mat = tf.linalg.inv(matrix)

# Check the result
identity = matrix @ inverse_mat

# Display tensors
print(inverse_mat)
print('-' * 50)
print(identity)

Hinweis

Transponieren

Eine transponierte Matrix kann mit der Funktion tf.transpose() erzeugt werden.


              123456789101112
            
import tensorflow as tf

# Create a matrix 3x2
matrix = tf.constant([[1, 2], [3, 4], [2, 1]])

# Get the transpose of a matrix
transposed = tf.transpose(matrix)

# Display tensors
print(matrix)
print('-' * 40)
print(transposed)

Skalarprodukt


              1234567891011121314
            
import tensorflow as tf

# Create two vectors
matrix1 = tf.constant([1, 2, 3, 4])
matrix2 = tf.constant([2, 0, 2, 5])

# Compute the dot product of two tensors
dot_product_axes1 = tf.tensordot(matrix1, matrix2, axes=1)
dot_product_axes0 = tf.tensordot(matrix1, matrix2, axes=0)

# Display tensors
print(dot_product_axes1)
print('-' * 40)
print(dot_product_axes0)

Hinweis

Aufgabe

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Hintergrund

Ein lineares Gleichungssystem kann in Matrixform durch die Gleichung dargestellt werden:

AX = B

Dabei gilt:

A ist eine Koeffizientenmatrix;
X ist eine Spaltenmatrix der Variablen;
B ist eine Spaltenmatrix, die die Werte auf der rechten Seite der Gleichungen darstellt.

Die Lösung dieses Systems kann mit folgender Formel gefunden werden:

X = A^-1 B

wobei A^-1 die Inverse der Matrix A ist.

Zielsetzung

Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem, das mit TensorFlow gelöst werden soll. Das folgende Gleichungssystem ist gegeben:

2x + 3y - z = 1.
4x + y + 2z = 2.
-x + 2y + 3z = 3.

Darstellung des Gleichungssystems in Matrixform (Aufteilung in die Matrizen A und B).
Mit TensorFlow die Inverse der Matrix A berechnen.
Die Inverse der Matrix A mit der Matrix B multiplizieren, um die Lösungsmatrix X zu erhalten, die die Werte für x, y und z enthält.

Hinweis

Das Slicing in TensorFlow funktioniert ähnlich wie in NumPy. Daher ruft X[:, 0] alle Elemente aus der Spalte mit dem Index 0 ab. Auf das Slicing gehen wir später im Kurs noch genauer ein.

Lösung

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