N-Feature Lineare Regressionsgleichung

Wie bereits gezeigt, ist das Hinzufügen eines neuen Merkmals zum linearen Regressionsmodell so einfach wie das Hinzufügen dieses Merkmals zusammen mit dem neuen Parameter zur Gleichung des Modells. Auf diese Weise können deutlich mehr als zwei Parameter hinzugefügt werden.

Dabei gilt:

• $\beta_0, \beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n$ – sind die Parameter des Modells;
• $y_{\text{pred}}$ – ist die Vorhersage des Zielwerts;
• $x_1$ – ist der Wert des ersten Merkmals;
• $x_2$ – ist der Wert des zweiten Merkmals;
• $\dots$
• $x_n$ – ist der Wert des n-ten Merkmals.

Normale Gleichung

Das einzige Problem ist die Visualisierung. Wenn zwei Parameter vorliegen, wird ein 3D-Plot benötigt. Bei mehr als zwei Parametern wäre der Plot mehrdimensional. Da wir jedoch in einer dreidimensionalen Welt leben, können wir uns höherdimensionale Plots nicht vorstellen. Es ist jedoch nicht notwendig, das Ergebnis zu visualisieren. Es reicht aus, die Parameter zu bestimmen, damit das Modell funktioniert. Glücklicherweise ist dies relativ einfach. Die bewährte normale Gleichung hilft uns dabei:

Dabei gilt:

• $\beta_0, \beta_1, \dots, \beta_n$ – sind die Parameter des Modells;
• $\tilde{X}$ – ist eine Matrix, die in der ersten Spalte Einsen und in den weiteren Spalten $X_1 - X_n$ enthält:

• $X_k$ – ist ein Array der k-ten Merkmalswerte aus dem Trainingsdatensatz;
• $y_{\text{true}}$ – ist ein Array der Zielwerte aus dem Trainingsdatensatz.

X̃-Matrix

Beachte, dass sich nur die X̃-Matrix geändert hat. Du kannst dir die Spalten dieser Matrix so vorstellen, dass jede für ihren eigenen β-Parameter verantwortlich ist. Das folgende Video erklärt, was damit gemeint ist.

Die erste Spalte mit Einsen ist notwendig, um den β₀-Parameter zu bestimmen.