Summary  
This chapter derives the t-statistic by combining the difference in sample means, the pooled variance estimate, and the sample sizes into a single formula for comparison.  

General domain of usage  
Statistical hypothesis testing

Die Aufgabe des t-Tests besteht darin, festzustellen, ob der Unterschied zwischen den Mittelwerten der beiden Stichproben signifikant ist. Was sollte dabei berücksichtigt werden?  

Offensichtlich sollte der **Unterschied zwischen den Mittelwerten** selbst betrachtet werden.


Wie in der Abbildung unten gezeigt, ist auch die **Varianz** von Bedeutung.

Außerdem sollte die **Größe** jeder Stichprobe berücksichtigt werden.

Um den **Unterschied zwischen den Mittelwerten** zu berücksichtigen, wird einfach dieser Unterschied berechnet:

$$
\bar{x}_1-\bar{x}_0
$$

Die Situation wird komplexer, wenn es um die **Varianz** geht. Der t-Test setzt voraus, dass die Varianz für beide Stichproben gleich ist. Dies wird im Kapitel *Annahmen des t-Tests* weiter behandelt. Zur Schätzung der Varianz aus zwei Stichproben wird die Formel der **gepoolten Varianz** angewendet.

$$
s^2_{pooled} = \frac{s^2_1 \cdot df_1 + s^2_2 \cdot df_2}{df_1 + df_2} = \frac{s^2_1(n_1-1)+s^2_2(n_2-1)}{n_1+n_2-2}
$$

Dabei gilt:
- $$n_1$$ – Größe der i-ten Stichprobe;
- $$df_1 = n_i - 1$$ – i-ter Freiheitsgrad;
- $$s_{\raisebox{-1pt}{i}}^{\raisebox{1pt}{2}}$$ – Varianz der i-ten Stichprobe.

Und um die **Größe** zu berücksichtigen, werden die Stichprobengrößen benötigt:

$$
n_1, n_2 - \text{sind die Stichprobengrößen}
$$


Alles zusammengeführt zur **t-Statistik**.

$$
t = \frac{\bar{x}_1-\bar{x}_0}{\sqrt{s^2_{pooled}}\ \cdot\ \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}
$$

Stichprobengrößen werden nicht immer auf die intuitivste Weise verwendet. Dieser Ansatz stellt jedoch sicher, dass **t** der **t-Verteilung** folgt, die im nächsten Kapitel behandelt wird.

Welche Stichprobeneigenschaften berücksichtigt der t-Test?

Erwerb einer soliden Grundlage in Statistik mit Python. Erlernen grundlegender statistischer Konzepte und deren Anwendung mit NumPy und pandas. Von grundlegenden Kennzahlen wie Mittelwert und Varianz bis hin zu Hypothesentests, Konfidenzintervallen und datengestützten Erkenntnissen mit praxisnahen Übungen.

Entdecken Sie grundlegende statistische Prinzipien, einschließlich Datentypen, Maße der zentralen Tendenz und wichtige Unterschiede zwischen Stichproben und Grundgesamtheiten.

Lernen Sie, Mittelwert, Median und Modus mit Python zu berechnen und zu interpretieren. Üben Sie diese Operationen mit pandas, um reale Datensätze zu analysieren.

Verstehen, wie Varianz und Standardabweichung die Streuung von Daten messen. Erlernen der manuellen Berechnung beider Kennzahlen sowie deren Berechnung mit Python-Tools.

Untersuchung, wie Kovarianz und Korrelation Beziehungen zwischen Variablen beschreiben. Anwendung der Berechnung und des Vergleichs beider Kennzahlen in Python.

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Erlernen der Grundlagen der Hypothesentests und des t-Tests. Verständnis für die Planung, Durchführung und Interpretation von Tests mit Python zur Unterstützung datenbasierter Entscheidungen.

T-Test Mathematisch