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Herausforderung: Lösung der Aufgabe mit dem Satz von Bayes

Situationsbeschreibung

Stellen Sie sich eine medizinische Studie mit zwei Personengruppen vor:

Gruppe $H$ : 750 Personen mit Herzproblemen;
Gruppe $S$ : 800 Personen mit chronischen Magenschmerzen.

Folgendes ist über die Prävalenz von Diabetes bekannt:

In Gruppe $H$ haben 7 % Diabetes — dies ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(D∣H)=0{,}07$ , also die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person Diabetes ( $D$ ) hat, gegeben, dass sie ein Herzproblem ( $H$ ) hat;
In Gruppe $S$ haben 12 % Diabetes — dies ist $P(D∣S)=0{,}12$ , die Wahrscheinlichkeit für Diabetes bei Magenschmerzen.

Die Buchstaben stehen für:

$H$ : Ereignis "Person hat ein Herzproblem";
$S$ : Ereignis "Person hat Magenschmerzen";
$D$ : Ereignis "Person hat Diabetes".

Es soll die Gesamtbevölkerung betrachtet werden, die sich aus diesen beiden Gruppen zusammensetzt.

Aufgabe

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Berechnung von $P(H)$ , der Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person (aus beiden Gruppen zusammen) ein Herzproblem hat.
Berechnung von $P(S)$ , der Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person Magenschmerzen hat.
Berechnung von $P(D)$ , der Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person Diabetes hat.

Abschließend mithilfe des Satzes von Bayes die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Diabetes chronische Magenschmerzen hat, ausgedrückt als:

P(S∣D)= \frac{P(D∣S) \times P(S)}{P(D)}

Lösung

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Abschnitt 2. Kapitel 6

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Folgendes ist über die Prävalenz von Diabetes bekannt:

In Gruppe $H$ haben 7 % Diabetes — dies ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(D∣H)=0{,}07$ , also die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person Diabetes ( $D$ ) hat, gegeben, dass sie ein Herzproblem ( $H$ ) hat;
In Gruppe $S$ haben 12 % Diabetes — dies ist $P(D∣S)=0{,}12$ , die Wahrscheinlichkeit für Diabetes bei Magenschmerzen.

Die Buchstaben stehen für:

$H$ : Ereignis "Person hat ein Herzproblem";
$S$ : Ereignis "Person hat Magenschmerzen";
$D$ : Ereignis "Person hat Diabetes".

Es soll die Gesamtbevölkerung betrachtet werden, die sich aus diesen beiden Gruppen zusammensetzt.

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Berechnung von $P(S)$ , der Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person Magenschmerzen hat.
Berechnung von $P(D)$ , der Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person Diabetes hat.

Abschließend mithilfe des Satzes von Bayes die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Diabetes chronische Magenschmerzen hat, ausgedrückt als:

P(S∣D)= \frac{P(D∣S) \times P(S)}{P(D)}

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