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Lernen Herausforderung: Lösung der Aufgabe mit dem Satz von Bayes | Wahrscheinlichkeit Komplexer Ereignisse
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie

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Herausforderung: Lösung der Aufgabe mit dem Satz von Bayes

Situationsbeschreibung

Stellen Sie sich eine medizinische Studie mit zwei Personengruppen vor:

  • Gruppe HH: 750 Personen mit Herzproblemen;

  • Gruppe SS: 800 Personen mit chronischen Magenschmerzen.

Folgendes ist über die Prävalenz von Diabetes bekannt:

  • In Gruppe HH haben 7 % Diabetes — dies ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P(DH)=0,07P(D∣H)=0{,}07, also die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person Diabetes (DD) hat, gegeben, dass sie ein Herzproblem (HH) hat;

  • In Gruppe SS haben 12 % Diabetes — dies ist P(DS)=0,12P(D∣S)=0{,}12, die Wahrscheinlichkeit für Diabetes bei Magenschmerzen.

Die Buchstaben stehen für:

  • HH: Ereignis "Person hat ein Herzproblem";

  • SS: Ereignis "Person hat Magenschmerzen";

  • DD: Ereignis "Person hat Diabetes".

Es soll die Gesamtbevölkerung betrachtet werden, die sich aus diesen beiden Gruppen zusammensetzt.

Aufgabe

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  1. Berechnung von P(H)P(H), der Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person (aus beiden Gruppen zusammen) ein Herzproblem hat.
  2. Berechnung von P(S)P(S), der Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person Magenschmerzen hat.
  3. Berechnung von P(D)P(D), der Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person Diabetes hat.

Abschließend mithilfe des Satzes von Bayes die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Diabetes chronische Magenschmerzen hat, ausgedrückt als:

P(SD)=P(DS)×P(S)P(D)P(S∣D)= \frac{P(D∣S) \times P(S)}{P(D)}

Lösung

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Abschnitt 2. Kapitel 6
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  • In Gruppe SS haben 12 % Diabetes — dies ist P(DS)=0,12P(D∣S)=0{,}12, die Wahrscheinlichkeit für Diabetes bei Magenschmerzen.

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  3. Berechnung von P(D)P(D), der Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person Diabetes hat.

Abschließend mithilfe des Satzes von Bayes die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Diabetes chronische Magenschmerzen hat, ausgedrückt als:

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