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Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie
Geometrische Wahrscheinlichkeit
Im vorherigen Kapitel haben wir die klassische Regel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten betrachtet. Nach dieser Regel wird die Wahrscheinlichkeit als das Verhältnis der für uns interessierenden Ergebnisse zur Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse berechnet. Aber was können wir tun, wenn die Anzahl der Ergebnisse nicht gezählt werden kann?
Zum Beispiel, nehmen Sie an, Sie schießen zufällig auf ein Ziel und wollen die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, den zentralen Bereich dieses Ziels zu treffen.
In diesem Fall können Sie nicht einfach alle möglichen Ergebnisse zählen, da die Anzahl der Punkte, die Sie treffen können, unendlich ist. Daher müssen wir geometrische Wahrscheinlichkeit verwenden.
Das Prinzip zur Berechnung geometrischer Wahrscheinlichkeiten ähnelt der klassischen Regel – wir gehen immer noch davon aus, dass alle möglichen elementaren Ergebnisse des Experiments gleich wahrscheinlich sind, aber anstatt die Anzahl der Ergebnisse zu zählen, betrachten wir ihr geometrisches Maß.
Das geometrische Maß wird basierend auf der Dimension des Raums der elementaren Ereignisse bestimmt:
- wenn der Raum eindimensional (Linie) ist, wird die Länge der Linie als Maßstab verwendet;
- wenn zweidimensional (Ebene), wird die Fläche der Figur auf der Ebene als Maßstab verwendet;
- wenn dreidimensional (eine Figur im Raum), verwenden wir als Maßstab das Volumen.
Um das Problem mit einem Ziel zu lösen, können wir das Verhältnis der Flächen des interessierenden Bereichs zu dem gesamten Ziel verwenden. Angenommen, das gesamte Ziel ist ein Kreis mit einem Radius von 2 und der interessierende Bereich ist ein Kreis im Zentrum mit einem Radius von 1. Dann kann die Wahrscheinlichkeit, den zentralen Bereich zu treffen, wie folgt berechnet werden:
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # Define the radii of the circles r_large = 2 # Radius of the larger circle r_small = 1 # Radius of the smaller circle # Calculate the areas area_large = np.pi * r_large**2 # Area of the larger circle area_small = np.pi * r_small**2 # Area of the smaller circle # Calculate the probability probability = area_small / area_large # Probability of shooting into the smaller circle # Plot the circles fig, ax = plt.subplots() # Create a new figure and axis object circle_large = plt.Circle((0, 0), r_large, color='blue', alpha=0.3) # Create a circle representing the larger circle circle_small = plt.Circle((0, 0), r_small, color='red', alpha=0.5) # Create a circle representing the smaller circle ax.add_artist(circle_large) # Add the larger circle to the plot ax.add_artist(circle_small) # Add the smaller circle to the plot ax.set_aspect('equal') # Set the aspect ratio of the plot to be equal ax.set_xlim(-r_large-1, r_large+1) # Set the x-axis limits ax.set_ylim(-r_large-1, r_large+1) # Set the y-axis limits ax.set_xlabel('X') # Set the x-axis label ax.set_ylabel('Y') # Set the y-axis label ax.set_title('Probability of Shooting into the Circle') # Set the title of the plot plt.legend(['Target', 'Area to shoot']) # Add a legend to the plot plt.grid(True) # Add a grid to the plot plt.show() # Display the plot print(f'The probability of shooting into the smaller circle is {probability:.4f}') # Print the probability
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