Unverzerrte Schätzung

Schätzungen können mit jedem neuen Satz von Stichproben variieren, wodurch sie zu Zufallsvariablen mit eigenen Verteilungen werden. Um die Qualität einer Schätzung zu bestimmen, benötigen wir Kriterien, um zu bewerten, welche Schätzungen besser oder schlechter sind und wie gut sie unseren Erwartungen entsprechen.

In der Praxis werden Schätzungen oft anhand von drei Schlüsseleigenschaften bewertet: Unverzerrtheit, Konsistenz und Effizienz.

Unverzerrte Schätzung

Unverzerrte Schätzung in der Statistik stellt sicher, dass der erwartete Wert des Schätzers dem wahren Wert des zu schätzenden Parameters entspricht. Das bedeutet, dass die Schätzung im Durchschnitt nicht konstant zu hoch oder zu niedrig ist.

Mathematisch wird es wie folgt ausgedrückt:

Um diese Eigenschaft besser zu verstehen, betrachten wir die Schätzung des Mittelwerts und der Standardabweichung für eine Gaußsche Stichprobe mit der Momentenmethode.

Mittelwertschätzung

Daraus kann geschlossen werden, dass die Schätzung des Mittelwerts der Gaußschen Population durch Berechnung des Stichprobenmittelwerts unverzerrt ist, da der Erwartungswert des erhaltenen Werts dem tatsächlichen Mittelwert entspricht.

Varianzschätzung

Nun schätzen wir die Varianz der Population, indem wir die Varianz über Stichproben berechnen:

Wir haben eine verzerrte Schätzung erhalten, bei der der Erwartungswert der Stichprobenvarianz kleiner als die wahre Varianz ist. Wenn jedoch die Anzahl der Stichproben zunimmt, nähert sich der Erwartungswert der wahren Varianz an (weil 1/m gegen null geht).

Hinweis

Eine Schätzung, die verzerrt bleibt, bei der sich diese Verzerrung jedoch auf null verringert, wenn die Anzahl der Stichproben gegen unendlich geht, wird als asymptotisch unverzerrt bezeichnet.

Um eine einfach unverzerrte Schätzung der Varianz der Population zu erstellen, können wir die folgende Formel verwenden:

Die mit der obigen Formel erhaltene Schätzung wird als angepasste Stichprobenvarianz bezeichnet.

Hinweis

Die Stichprobenvarianz ist nur dann verzerrt, wenn wir den Stichprobenmittelwert in der Berechnung verwenden. Wenn wir genau den mathematischen Erwartungswert kennen und die Varianz schätzen wollen, können wir diesen Erwartungswert anstelle des Stichprobenmittelwerts verwenden, und eine solche Schätzung wird unverzerrt sein.

Es ist auch wichtig zu erwähnen, dass die obigen Formeln zur Schätzung des Mittelwerts und der Varianz für die Gaußsche Verteilung und jede andere Verteilung mit einem mathematischen Erwartungswert und einer Varianz verwendet werden können. Solche Schätzungen werden ebenfalls unverzerrt sein.