Lineare Algebra spielt eine entscheidende Rolle bei der Bildverarbeitung. Da digitale Bilder als Matrizen von Pixelwerten dargestellt werden, können mathematische Operationen wie Transformationen, Skalierungen und Rotationen durch Matrixmanipulationen durchgeführt werden. Im Folgenden werden die grundlegenden Konzepte der linearen Algebra erläutert, die in der Computer Vision verwendet werden.

Bilddarstellung als Matrizen

Ein digitales Bild ist im Wesentlichen ein Raster aus Pixeln, wobei jeder Pixel einen Intensitätswert besitzt. Bei Graustufenbildern handelt es sich um eine 2D-Matrix, wobei jeder Eintrag einem Helligkeitswert entspricht (0 für Schwarz, 255 für Weiß). Zum Beispiel könnte ein einfaches 6×6-Graustufenbild folgendermaßen aussehen:

Farbige Bilder hingegen sind 3D-Matrizen (auch Tensoren genannt), mit separaten Ebenen für Rot, Grün und Blau (RGB).

Graustufenbilder haben die Form (60, 60), was bedeutet, dass sie aus 60 Zeilen und 60 Spalten bestehen, wobei jeder Pixel einen einzelnen Intensitätswert repräsentiert – es gibt nur einen Farbkanal. Im Gegensatz dazu haben RGB-Bilder die Form (60, 60, 3), was auf die gleiche räumliche Auflösung (60 Zeilen und 60 Spalten) hinweist, jedoch mit einer zusätzlichen Dimension für die Farbe: Jeder Pixel enthält drei Werte, die den roten, grünen und blauen Kanälen entsprechen und zusammen die vollständige Farbe an diesem Punkt definieren.

Lineare Algebraische Transformationen für die Bildverarbeitung

Viele Bildmanipulationen basieren auf Matrixoperationen, wodurch die lineare Algebra ein zentraler Bestandteil des Computer Visions ist. Im Folgenden werden die am häufigsten verwendeten Transformationen vorgestellt.

Bildskalierung (Größenänderung)

Die Skalierung vergrößert oder verkleinert die Größe eines Bildes. Dies wird erreicht, indem die Bildmatrix mit einer Skalierungsmatrix multipliziert wird:

wobei s_x und s_y die Skalierungsfaktoren für die Breite bzw. Höhe sind. Beispiel: Wenn wir die Größe eines Bildes verdoppeln möchten, verwenden wir:

Die Multiplikation dieser Matrix mit den Koordinaten jedes Pixels vergrößert das Bild.

Bildrotation

Um ein Bild um einen Winkel θ zu drehen, wird eine Rotationsmatrix verwendet:

Zum Beispiel bedeutet das Drehen eines Bildes um 90 Grad im Uhrzeigersinn die Verwendung von:

Durch Anwenden dieser Transformation wird jedes Pixel an eine neue Position verschoben, wodurch das Bild effektiv rotiert wird.

Scherung (Verzerrung eines Bildes)

Scherung verzerrt ein Bild, indem sie seine Zeilen oder Spalten verschiebt. Die Scherungsmatrix ist:

wobei ω_x und ω_y angeben, wie stark das Bild horizontal und vertikal verzerrt wird. Verschiebung eines Bildes um 30 % horizontal und 20 % vertikal:

Warum lineare Algebra in der Computer Vision wichtig ist

Lineare Algebra bildet das Fundament vieler Bildverarbeitungsaufgaben, darunter:

• Objekterkennung (Begrenzungsrahmen basieren auf Transformationen);
• Gesichtserkennung (Eigenvektoren und PCA zur Merkmalsextraktion);
• Bildverbesserung (Filterung verwendet Matrixfaltungen);
• Neuronale Netze (Gewichte werden als Matrizen gespeichert).

Durch das Verständnis dieser grundlegenden Operationen können Bilder effektiv manipuliert und fortgeschrittene Anwendungen der Computer Vision entwickelt werden.