Lernen Herausforderung: Training des Perzeptrons

Bevor mit dem Training des Perzeptrons fortgefahren wird, ist zu beachten, dass die binäre Kreuzentropie-Verlustfunktion verwendet wird, die zuvor besprochen wurde. Das letzte zentrale Konzept vor der Implementierung der Backpropagation ist die Formel für die Ableitung dieser Verlustfunktion bezüglich der Ausgabeaktivierungen, $a^n$ . Nachfolgend sind die Formeln für die Verlustfunktion und deren Ableitung aufgeführt:

\begin{aligned} L &= -(y \log(\hat{y}) + (1-y) \log(1 - \hat{y}))\\ da^n &= \frac {\hat{y} - y} {\hat{y}(1 - \hat{y})} \end{aligned}

wobei $a^n = \hat{y}$

Um zu überprüfen, ob das Perzeptron korrekt trainiert wird, gibt die Methode fit() auch den durchschnittlichen Verlust in jeder Epoche aus. Dieser wird berechnet, indem der Verlust über alle Trainingsbeispiele in dieser Epoche gemittelt wird:

for epoch in range(epochs):
    loss = 0

    for i in range(training_data.shape[0]):
        loss += -(target * np.log(output) + (1 - target) * np.log(1 - output))

average_loss = loss[0, 0] / training_data.shape[0]
print(f'Loss at epoch {epoch + 1}: {average_loss:.3f}')

L = -\frac1N \sum_{i=1}^N (y_i \log(\hat{y}_i) + (1 - y_i) \log(1 - \hat{y}_i))

Abschließend lauten die Formeln zur Berechnung der Gradienten wie folgt:

\begin{aligned} dz^l &= da^l \odot f'^l(z^l)\\ dW^l &= dz^l \cdot (a^{l-1})^T\\ db^l &= dz^l\\ da^{l-1} &= (W^l)^T \cdot dz^l \end{aligned}

Die Beispieldaten für das Training (X_train) sowie die zugehörigen Labels (y_train) sind als NumPy-Arrays in der Datei utils.py gespeichert. Zusätzlich sind dort auch Instanzen der Aktivierungsfunktionen definiert:

relu = ReLU()
sigmoid = Sigmoid()

Aufgabe

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Berechnung der folgenden Gradienten: dz, d_weights, d_biases und da_prev in der Methode backward() der Klasse Layer.
Berechnung des output des Modells in der Methode fit() der Klasse Perceptron.
Berechnung von da ( $da^n$ ) vor der Schleife, was dem Gradienten des Verlusts bezüglich der Ausgabeaktivierungen entspricht.
Berechnung von da und Durchführung der Backpropagation in der Schleife durch Aufruf der entsprechenden Methode für jede Schicht.

Bei korrekter Implementierung des Trainings sollte sich der Verlust bei einer Lernrate von 0.01 mit jeder Epoche stetig verringern.

Lösung

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Abschnitt 2. Kapitel 10

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\begin{aligned} L &= -(y \log(\hat{y}) + (1-y) \log(1 - \hat{y}))\\ da^n &= \frac {\hat{y} - y} {\hat{y}(1 - \hat{y})} \end{aligned}