Lernen Implementierung der Backpropagation | Neural Network von Grund Auf

Allgemeiner Ansatz

Bei der Vorwärtspropagation nimmt jede Schicht $l$ die Ausgaben der vorherigen Schicht, $a^{l-1}$ , als Eingaben und berechnet ihre eigenen Ausgaben. Daher nimmt die Methode forward() der Klasse Layer den Vektor der vorherigen Ausgaben als einzigen Parameter, während die restlichen benötigten Informationen innerhalb der Klasse gespeichert werden.

Bei der Rückwärtspropagation benötigt jede Schicht $l$ nur $da^l$ , um die jeweiligen Gradienten zu berechnen und $da^{l-1}$ zurückzugeben. Die Methode backward() nimmt daher den Vektor $da^l$ als Parameter. Die übrigen erforderlichen Informationen sind bereits in der Klasse Layer gespeichert.

Ableitungen von Aktivierungsfunktionen

Da für die Rückwärtspropagation Ableitungen von Aktivierungsfunktionen benötigt werden, sollten Aktivierungsfunktionen wie ReLU und Sigmoid als Klassen und nicht als eigenständige Funktionen strukturiert werden. Dadurch können wir sowohl:

Die Aktivierungsfunktion selbst (implementiert über die Methode __call__()), sodass sie direkt in der Klasse Layer mit self.activation(z) angewendet werden kann;
Ihre Ableitung (implementiert über die Methode derivative()), was eine effiziente Rückwärtspropagation ermöglicht und in der Klasse Layer als self.activation.derivative(z) verwendet wird.

Durch die Strukturierung von Aktivierungsfunktionen als Objekte können wir sie einfach an die Klasse Layer übergeben und dynamisch verwenden.

ReLU

Die Ableitung der ReLU-Aktivierungsfunktion ist wie folgt, wobei $z_i$ ein Element des Vektors der Voraktivierungen $z$ ist:

f'(z_i) = \begin{cases} 1, z_i > 0\\ 0, z_i \le 0 \end{cases}

class ReLU:
    def __call__(self, z):
        return np.maximum(0, z)

    def derivative(self, z):
        return (z > 0).astype(float)

Sigmoid

Die Ableitung der Sigmoid-Aktivierungsfunktion ist wie folgt:

f'(z_i) = f(z_i) \cdot (1 - f(z_i))

class Sigmoid:
    def __call__(self, x):
        return 1 / (1 + np.exp(-z))

    def derivative(self, z):
        sig = self(z)
        return sig * (1 - sig)

Für beide dieser Aktivierungsfunktionen wenden wir sie auf den gesamten Vektor $z$ an, ebenso wie deren Ableitungen. NumPy führt die Operation intern für jedes Element des Vektors aus. Wenn zum Beispiel der Vektor $z$ 3 Elemente enthält, ergibt sich die Ableitung wie folgt:

f'(z) = f'( \begin{bmatrix} z_1\\ z_2\\ z_3 \end{bmatrix} ) = \begin{bmatrix} f'(z_1)\\ f'(z_2)\\ f'(z_3) \end{bmatrix}

Die backward()-Methode

Die Methode backward() ist zuständig für die Berechnung der Gradienten anhand der folgenden Formeln:

\begin{aligned} dz^l &= da^l \odot f'^l(z^l)\\ dW^l &= dz^l \cdot (a^{l-1})^T\\ db^l &= dz^l\\ da^{l-1} &= (W^l)^T \cdot dz^l \end{aligned}

a^{l-1} und $z^l$ werden in der Klasse inputs als die Attribute outputs bzw. Layer gespeichert. Die Aktivierungsfunktion $f$ wird als Attribut activation gespeichert.

Sobald alle erforderlichen Gradienten berechnet wurden, können Gewichte und Biases aktualisiert werden, da sie für weitere Berechnungen nicht mehr benötigt werden:

\begin{aligned} W^l &= W^l - \alpha \cdot dW^l\\ b^l &= b^l - \alpha \cdot db^l \end{aligned}

Daher ist learning_rate ( $\alpha$ ) ein weiterer Parameter dieser Methode.

def backward(self, da, learning_rate):
    dz = ...
    d_weights = ...
    d_biases = ...
    da_prev = ...

    self.weights -= learning_rate * d_weights
    self.biases -= learning_rate * d_biases

    return da_prev

Hinweis

Der Operator * führt eine elementweise Multiplikation durch, während die Funktion np.dot() das Skalarprodukt in NumPy berechnet. Das Attribut .T transponiert ein Array.

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Abschnitt 2. Kapitel 8

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