Valores Propios y Vectores Propios
Un vector propio de una matriz es un vector no nulo cuya dirección permanece inalterada cuando se le aplica una transformación lineal (representada por la matriz); solo su longitud se escala. La cantidad de escalado está dada por el valor propio correspondiente.
Para la matriz de covarianza Σ, los vectores propios apuntan en las direcciones de máxima varianza, y los valores propios indican cuánta varianza hay en esas direcciones.
Matemáticamente, para la matriz A, el vector propio v y el valor propio λ:
Av=λvEn PCA, los vectores propios de la matriz de covarianza son los ejes principales, y los valores propios son las varianzas a lo largo de esos ejes.
12345678910111213import numpy as np # Using the covariance matrix from the previous code X = np.array([[2.5, 2.4], [0.5, 0.7], [2.2, 2.9]]) X_centered = X - np.mean(X, axis=0) cov_matrix = (X_centered.T @ X_centered) / X_centered.shape[0] # Compute eigenvalues and eigenvectors values, vectors = np.linalg.eig(cov_matrix) print("Eigenvalues:", values) print("Eigenvectors:\n", vectors)
El vector propio con el mayor valor propio apunta en la dirección de mayor varianza en los datos. Este es el primer componente principal.
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Para la matriz de covarianza Σ, los vectores propios apuntan en las direcciones de máxima varianza, y los valores propios indican cuánta varianza hay en esas direcciones.
Matemáticamente, para la matriz A, el vector propio v y el valor propio λ:
Av=λvEn PCA, los vectores propios de la matriz de covarianza son los ejes principales, y los valores propios son las varianzas a lo largo de esos ejes.
12345678910111213import numpy as np # Using the covariance matrix from the previous code X = np.array([[2.5, 2.4], [0.5, 0.7], [2.2, 2.9]]) X_centered = X - np.mean(X, axis=0) cov_matrix = (X_centered.T @ X_centered) / X_centered.shape[0] # Compute eigenvalues and eigenvectors values, vectors = np.linalg.eig(cov_matrix) print("Eigenvalues:", values) print("Eigenvectors:\n", vectors)
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