Summary  
This chapter demonstrates how to implement conditional probability and Bayes’ theorem in Python by computing P(A|B) from joint and marginal probabilities and then updating prior beliefs using likelihoods to obtain a posterior probability.  

General domain of usage  
Medical testing

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## Probabilidad condicional

La probabilidad condicional mide la posibilidad de que ocurra un evento dado que otro evento ya ha ocurrido.

**Fórmula:**

$$
P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
$$

P_A_and_B = 0.1  # Probability late AND raining
P_B = 0.2        # Probability raining

P_A_given_B = P_A_and_B / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.2f}")  # Output: 0.5

**Interpretación:**
si está lloviendo, hay un 50% de probabilidad de que llegues tarde al trabajo.

## Teorema de Bayes

El Teorema de Bayes nos ayuda a encontrar $P(A|B)$ cuando es difícil medirlo directamente, relacionándolo con $P(B|A)$, que a menudo es más fácil de estimar.

**Fórmula:**

$$
P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}
$$

Donde:

* $$P(A \mid B)$$ - probabilidad de A dado B (nuestro objetivo);
* $$P(B \mid A)$$ - probabilidad de B dado A;
* $$P(A)$$ - probabilidad previa de A;
* $$P(B)$$ - probabilidad total de B.

**Expansión de $$P(B)$$**

$$
P(B) = P(B \mid A) P(A) + P(B \mid \neg A) P(\neg A)
$$

P_A = 0.01                # Disease prevalence
P_not_A = 1 - P_A
P_B_given_A = 0.99        # Sensitivity
P_B_given_not_A = 0.05    # False positive rate

# Total probability of testing positive
P_B = (P_B_given_A * P_A) + (P_B_given_not_A * P_not_A)
print(f"P(B) = {P_B:.4f}")  # Output: 0.0594

# Apply Bayes’ Theorem
P_A_given_B = (P_B_given_A * P_A) / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.4f}")  # Output: 0.1672

**Interpretación:**
Incluso si obtienes un resultado positivo, solo hay aproximadamente un 16.7% de probabilidad de que realmente tengas la enfermedad.

## Puntos clave

* La probabilidad condicional determina la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ocurrió B;
* El teorema de Bayes invierte probabilidades condicionales para actualizar creencias cuando la medición directa es difícil;
* Ambos son fundamentales en ciencia de datos, pruebas médicas y aprendizaje automático.

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Implementación de la Probabilidad Condicional y el Teorema de Bayes en Python

Probabilidad condicional

Teorema de Bayes

Puntos clave