Funciones Algebraicas

Tipos y comportamientos

1. Función identidad

Forma: $f(x) = x$

Comportamiento:

• Pasa por el origen $(0, 0)$;
• Línea recta con pendiente $m = 1$;
• Cada entrada se asigna a sí misma;
• Sin máximo ni mínimo;
• Dominio: $(-\infty, \infty)$;
• Recorrido: $(-\infty, \infty)$.

Caso de uso: representación de datos sin cambios o como referencia en transformaciones.

2. Función constante

Forma: $f(x) = c$

Comportamiento:

• Línea horizontal en $y = c$;
• La salida permanece constante para todas las entradas;
• Pendiente: $m = 0$;
• Sin máximo ni mínimo;
• Dominio: $(-\infty, \infty)$;
• Recorrido: ${c}$.

Caso de uso: representación de cantidades fijas como valores base o tarifas planas.

3. Función lineal

Forma: $f(x) = mx + b$

Comportamiento:

• Línea recta con pendiente $m$;
• Creciente si $m > 0$, decreciente si $m < 0$;
• Intersección con el eje X: $x = -\frac{b}{m}$;
• Intersección con el eje Y: $y = b$;
• Sin máximo ni mínimo;
• Dominio: $(-\infty, \infty)$;
• Recorrido: $(-\infty, \infty)$.

Caso de uso: predicción de resultados continuos como ingresos o costos.

4. Función polinómica (Ejemplo cuadrático)

Forma: $f(x) = ax^2 + bx + c$

Comportamiento:

• Curva parabólica (forma de U si $a > 0$; U invertida si $a < 0$);
• Vértice en $x = -\frac{b}{2a}$;
• Intersecciones con el eje X (raíces): $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$;
• Intersección con el eje Y: $f(0) = c$;
• Dominio: $(-\infty, \infty)$;
• Recorrido:
• Si $a > 0$, entonces $[y_{vertex}; \infty)$;
  • Si $a < 0$, entonces $(-\infty; y_{vertex}]$.

Caso de uso: ajuste de curvas, modelos de regresión y descripción de tendencias no lineales.

5. Función racional

Forma: $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$

Ejemplo: $f(x) = \frac{1}{x - 1}$

Comportamiento:

• Asíntota vertical en $x = 1$;
• Asíntota horizontal en $y = 0$;
• No definida en $x = 1$;
• Incremento y decremento abruptos cerca de la asíntota;
• Dominio: $(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$;
• Rango: $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

Caso de uso: modelado de sistemas restringidos como tasas de cambio o utilización de recursos.