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Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Aprende Introducción a las Transformaciones Matriciales | Fundamentos de Álgebra Lineal
Matemáticas para Ciencia de Datos

bookIntroducción a las Transformaciones Matriciales

Ecuaciones matriciales

Una ecuación matricial se puede escribir como:

Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}

Donde:

  • AA es la matriz de coeficientes;
  • x⃗\vec{x} es el vector de variables;
  • b⃗\vec{b} es el vector de constantes.

Representación matricial de sistemas lineales

Considere el sistema lineal:

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Esto se puede reescribir como:

[211−1][xy]=[51]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Desglose de la multiplicación de matrices

La multiplicación de una matriz por un vector representa una combinación lineal:

[abcd][xy]=[ax+bycx+dy]=x[ac]+y[bd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Sistema de ejemplo en forma matricial

El sistema:

3x+2y=74x−y=53x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Puede expresarse como:

[324−1][xy]=[75]\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Matrices como transformaciones

Una matriz transforma vectores en el espacio.

Por ejemplo:

A=[abcd],  v1⃗=[11],  v2⃗=[112]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Esta matriz define cómo se transforman los ejes bajo la multiplicación.

Escalado con matrices

Para aplicar un escalado a un vector, utilizar:

S=[sx00sy]S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Donde:

  • sxs_x - el factor de escala en la dirección x;
  • sys_y - el factor de escala en la dirección y.

Ejemplo: escalado del punto (2, 3) por 2:

S=[2002],v⃗=[23]S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Entonces:

Sv⃗=[46]S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Rotación con matrices

Para rotar un vector un ángulo θ\theta alrededor del origen:

R=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Ejemplo: rotar (2, 3) en 90°:

R=[cos⁡90º−sin⁡90ºsin⁡90ºcos⁡90º]=[0−110],v⃗=[23]R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Entonces:

Rv⃗=[−32]R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Reflexión sobre el eje x

Matriz de reflexión:

M=[100−1],M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

Usando v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[2−3]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Transformación de cizalladura (cizalladura en dirección x)

La cizalladura desplaza un eje en función del otro.

Para cizallar en la dirección x:

M=[1k01]M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Si k=1.5k = 1.5 y v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[6.53]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Transformación Identidad

La matriz identidad no realiza ninguna transformación:

I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Para cualquier vector v⃗\vec{v}:

Iv⃗=v⃗I \vec{v} = \vec{v}
question mark

¿Cuál es la forma matricial de este sistema de ecuaciones?

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Select the correct answer

¿Todo estuvo claro?

¿Cómo podemos mejorarlo?

¡Gracias por tus comentarios!

Sección 4. Capítulo 5

Pregunte a AI

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Can you explain how to solve a matrix equation for the variables?

What are some real-world applications of matrices and matrix transformations?

Can you show more examples of matrix transformations like rotation or scaling?

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Ecuaciones matriciales

Una ecuación matricial se puede escribir como:

Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}

Donde:

  • AA es la matriz de coeficientes;
  • x⃗\vec{x} es el vector de variables;
  • b⃗\vec{b} es el vector de constantes.

Representación matricial de sistemas lineales

Considere el sistema lineal:

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Esto se puede reescribir como:

[211−1][xy]=[51]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Desglose de la multiplicación de matrices

La multiplicación de una matriz por un vector representa una combinación lineal:

[abcd][xy]=[ax+bycx+dy]=x[ac]+y[bd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Sistema de ejemplo en forma matricial

El sistema:

3x+2y=74x−y=53x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Puede expresarse como:

[324−1][xy]=[75]\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Matrices como transformaciones

Una matriz transforma vectores en el espacio.

Por ejemplo:

A=[abcd],  v1⃗=[11],  v2⃗=[112]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Esta matriz define cómo se transforman los ejes bajo la multiplicación.

Escalado con matrices

Para aplicar un escalado a un vector, utilizar:

S=[sx00sy]S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Donde:

  • sxs_x - el factor de escala en la dirección x;
  • sys_y - el factor de escala en la dirección y.

Ejemplo: escalado del punto (2, 3) por 2:

S=[2002],v⃗=[23]S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Entonces:

Sv⃗=[46]S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Rotación con matrices

Para rotar un vector un ángulo θ\theta alrededor del origen:

R=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Ejemplo: rotar (2, 3) en 90°:

R=[cos⁡90º−sin⁡90ºsin⁡90ºcos⁡90º]=[0−110],v⃗=[23]R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Entonces:

Rv⃗=[−32]R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Reflexión sobre el eje x

Matriz de reflexión:

M=[100−1],M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

Usando v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[2−3]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Transformación de cizalladura (cizalladura en dirección x)

La cizalladura desplaza un eje en función del otro.

Para cizallar en la dirección x:

M=[1k01]M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Si k=1.5k = 1.5 y v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[6.53]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Transformación Identidad

La matriz identidad no realiza ninguna transformación:

I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Para cualquier vector v⃗\vec{v}:

Iv⃗=v⃗I \vec{v} = \vec{v}
question mark

¿Cuál es la forma matricial de este sistema de ecuaciones?

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

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¿Cómo podemos mejorarlo?

¡Gracias por tus comentarios!

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