¿Qué son los vectores propios y los valores propios?

Un vector propio es un vector no nulo que solo cambia en magnitud cuando se le aplica una matriz. El valor escalar correspondiente que describe este cambio es el valor propio.

$$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$$

Donde:

• $A$ es una matriz cuadrada;
• $\lambda$ es el valor propio;
• $\vec{v}$ es el vector propio.

Ejemplo de matriz y planteamiento

Suponga que:

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$$

Queremos encontrar valores de $\lambda$ y vectores $\vec{v}$ tales que:

$$A \vec{v} = \lambda \vec{v}$$

Ecuación Característica

Para encontrar $\lambda$, resolver la ecuación característica:

$$\det(A - \lambda I) = 0$$

Sustituir:

$$\det \begin{bmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{bmatrix} = 0$$

Calcular el determinante:

$$(4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = 0$$

Resolver:

$$\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \\ \lambda = 5, \; \lambda = 2$$

Encontrar Eigenvectores

Ahora resolver para cada $\lambda$.

Para $\lambda = 5$:

Restar:

$$(A - 5I)\vec{v} = 0$$ $$\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \vec{v} = 0$$

Resolver:

$$v_1 = v_2$$

Por lo tanto:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Para $\lambda = 2$:

Restar:

$$(A - 2I)\vec{v} = 0$$ $$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \vec{v} = 0$$

Resolver:

$$v_1 = -\tfrac{1}{2} v_2$$

Por lo tanto:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$$

Confirmar el par propio

Una vez que se tiene un valor propio $\lambda$ y un vector propio $\vec{v}$, verificar que:

$$A \vec{v} = \lambda \vec{v}$$

Ejemplo:

$$A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 5 \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Ejemplo:

$$\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}$$

también es un vector propio para $\lambda = 5$.

Diagonalización (Avanzado)

Si una matriz $A$ tiene $n$ eigenvectores linealmente independientes, entonces puede ser diagonalizada:

$$A = PDP^{-1}$$

Donde:

• $P$ es la matriz de eigenvectores como columnas;
• $D$ es una matriz diagonal de eigenvalores;
• $P^{-1}$ es la inversa de $P$.

Puedes confirmar la diagonalización verificando $A = PDP^{-1}$.
Esto es útil para calcular potencias de $A$:

Ejemplo

Sea:

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$$

Encuentra los eigenvalores:

$$\det(A - \lambda I) = 0$$

Resuelve:

$$\lambda = 3, \; \lambda = 2$$

Encuentra los eigenvectores:

Para $\lambda = 3$:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

Para $\lambda = 2$:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Construye $P, D$ y $P^{-1}$:

$$P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Calcula:

$$PDP^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = A$$

Confirmado.

Por qué es importante:

Para calcular potencias de $A$, como $A^k$. Dado que $D$ es diagonal:

$$A^k = P D^k P^{-1}$$

Esto hace que el cálculo de potencias de matrices sea mucho más rápido.

Notas Importantes

• Los eigenvalores y eigenvectores son direcciones que permanecen sin cambio bajo la transformación;
• $\lambda$ estira $\vec{v}$;
• $\lambda = 1$ mantiene $\vec{v}$ sin cambio en magnitud.