¿Qué son los vectores propios y los valores propios?

Un vector propio es un vector no nulo que solo cambia en magnitud cuando se le aplica una matriz. El valor escalar correspondiente que describe este cambio es el valor propio.

$$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$$

Donde:

• $A$ es una matriz cuadrada;
• $\lambda$ es el valor propio;
• $\vec{v}$ es el vector propio.

Ejemplo de matriz y planteamiento

Supongamos:

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$$

Queremos encontrar valores de $\lambda$ y vectores $\vec{v}$ tales que:

$$A \vec{v} = \lambda \vec{v}$$

Ecuación característica

Para encontrar $\lambda$, resolver la ecuación característica:

$$\det(A - \lambda I) = 0$$

Sustituir:

$$\det \begin{bmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{bmatrix} = 0$$

Calcular el determinante:

$$(4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = 0$$

Resolver:

$$\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \\ \lambda = 5, \; \lambda = 2$$

Encontrar vectores propios

Ahora resolver para cada $\lambda$.

Para $\lambda = 5$:

Restar:

$$(A - 5I)\vec{v} = 0$$ $$\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \vec{v} = 0$$

Esto da la ecuación:

$$-v_1 + v_2 = 0$$

Resolver:

$$v_1 = v_2$$

Por lo tanto:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Para $\lambda = 2$:

Restar:

$$(A - 2I)\vec{v} = 0$$ $$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \vec{v} = 0$$

Esto da la ecuación:

$$2v_1 + v_2 = 0$$

Resolver:

$$v_1 = -\tfrac{1}{2} v_2$$

Por lo tanto:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$$

Confirmar el par propio

Una vez que tienes un valor propio $\lambda$ y un vector propio $\vec{v}$, verifica que:

$$A \vec{v} = \lambda \vec{v}$$

Ejemplo:

$$A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 5 \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Ejemplo:

$$\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}$$

también es un vector propio para $\lambda = 5$.

Diagonalización (Avanzado)

Si una matriz $A$ tiene $n$ eigenvectores linealmente independientes, entonces puede ser diagonalizada:

$$A = PDP^{-1}$$

Donde:

• $P$ es la matriz de eigenvectores como columnas;
• $D$ es una matriz diagonal de eigenvalores;
• $P^{-1}$ es la inversa de $P$.

Puedes confirmar la diagonalización verificando que $A = PDP^{-1}$.
Esto es útil para calcular potencias de $A$:

Ejemplo

Sea:

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$$

Encontrar los eigenvalores:

$$\det(A - \lambda I) = 0$$

Resolver:

$$\lambda = 3, \; \lambda = 2$$

Encontrar los eigenvectores:

Para $\lambda = 3$:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$

Para $\lambda = 2$:

$$\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$$

Construir $P, D$ y $P^{-1}$:

$$P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Calcular:

$$PDP^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = A$$

Confirmado.

Importancia:

Para calcular potencias de $A$, como $A^k$. Como $D$ es diagonal:

$$A^k = P D^k P^{-1}$$

Esto hace que el cálculo de potencias de matrices sea mucho más rápido.

Notas importantes

• Eigenvalores y eigenvectores son direcciones que permanecen sin cambio bajo la transformación;
• $\lambda$ estira $\vec{v}$;
• $\lambda = 1$ mantiene $\vec{v}$ sin cambio en magnitud.