Un estudiante está analizando una red simple donde el balance de flujo puede representarse como un sistema de ecuaciones lineales:

Donde:

• $A$ es una matriz de coeficientes de $3 \times 3$;
• $\vec{b}$ es un vector de cantidades conocidas;
• $\vec{x}$ es el vector de incógnitas a determinar.

El objetivo es resolver $\vec{x}$ realizando una descomposición LU de la matriz $A$, seguida de sustitución hacia adelante y sustitución hacia atrás. Finalmente, se debe comparar el resultado obtenido con el solucionador incorporado de NumPy para confirmar la corrección.

Tarea:

1. Completar el código en Python para:

• Realizar la descomposición LU completando las expresiones faltantes para $L$ y $U$.
• Implementar la sustitución hacia adelante para resolver $L\vec{y} = \vec{b}$.
• Implementar la sustitución hacia atrás para resolver $U\vec{x} = \vec{y}$.

2. Comparar el resultado con np.linalg.solve() para verificar la precisión.