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Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Aprende Introducciones a los Vectores | Fundamentos de Álgebra Lineal
Matemáticas para Ciencia de Datos

bookIntroducciones a los Vectores

Note
Definición

Un vector es un objeto matemático que representa tanto la dirección como la magnitud en el espacio. En ciencia de datos, los vectores se utilizan para describir puntos de datos, características y parámetros de modelos como los pesos.

¿Qué es un vector?

Un vector es un par ordenado de números con magnitud y dirección.

v⃗=(x,y)\vec{v} = (x,y)

Los vectores suelen representarse como flechas desde el origen hasta un punto en el espacio. Dos vectores se consideran iguales si tienen la misma dirección y longitud, incluso si parten de ubicaciones diferentes.

El vector cero

El vector cero no tiene longitud ni dirección. Se escribe como:

0⃗=(0,0)\vec{0} = (0, 0)

Suma y resta de vectores

Suma

Para sumar dos vectores, se suman sus componentes correspondientes:

a⃗+b⃗=(a1+b1,  a2+b2)\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2)

Esto se puede visualizar mediante:

  • Método de cabeza a cola: mover la cola de un vector a la cabeza del otro;
  • Método del paralelogramo: ambos vectores parten del mismo punto y forman un paralelogramo.

Resta

Para restar un vector de otro:

a⃗−b⃗=(a1−b1,  a2−b2)\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, \; a_2 - b_2)

Esto genera un nuevo vector que apunta desde la cabeza del segundo hasta la cabeza del primero.

Multiplicación por un escalar

Multiplicar un vector por un número (un escalar) estira o invierte el vector:

k⋅a⃗=(k⋅a1,  k⋅a2)k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_1, \; k \cdot a_2)
  • Si k>1k > 1, el vector se estira en la misma dirección;
  • Si 0<k<10 < k < 1, el vector se reduce;
  • Si k<0k < 0, invierte su dirección;
  • Si k=0k = 0, se convierte en el vector cero.

Magnitud (Longitud) de un Vector

La magnitud o longitud de un vector se calcula con el teorema de Pitágoras:

∣a⃗∣=a12+a22|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

Esto proporciona la distancia en línea recta desde el origen hasta el extremo del vector.

El Producto Punto

El producto punto combina dos vectores en un solo número que refleja cuán alineados están:

a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
  • Si el resultado es positivo: los vectores apuntan en una dirección similar;
  • Si el resultado es cero: los vectores son perpendiculares;
  • Si el resultado es negativo: apuntan en direcciones opuestas.

Ejemplo

Si a⃗=(1,2)  y  b⃗=(3,4) \vec{a} = (1, 2)\ \ \text{y}\ \ \vec{b} = (3, 4), entonces:

a⃗⋅b⃗=1⋅3+2⋅4=11\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 11
question mark

Si a⃗=(1,0), b⃗=(0,1)\vec{a} = (1, 0),\ \vec{b} = (0, 1). Entonces su producto punto es:

Select the correct answer

¿Todo estuvo claro?

¿Cómo podemos mejorarlo?

¡Gracias por tus comentarios!

Sección 4. Capítulo 1

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Un vector es un objeto matemático que representa tanto la dirección como la magnitud en el espacio. En ciencia de datos, los vectores se utilizan para describir puntos de datos, características y parámetros de modelos como los pesos.

¿Qué es un vector?

Un vector es un par ordenado de números con magnitud y dirección.

v⃗=(x,y)\vec{v} = (x,y)

Los vectores suelen representarse como flechas desde el origen hasta un punto en el espacio. Dos vectores se consideran iguales si tienen la misma dirección y longitud, incluso si parten de ubicaciones diferentes.

El vector cero

El vector cero no tiene longitud ni dirección. Se escribe como:

0⃗=(0,0)\vec{0} = (0, 0)

Suma y resta de vectores

Suma

Para sumar dos vectores, se suman sus componentes correspondientes:

a⃗+b⃗=(a1+b1,  a2+b2)\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2)

Esto se puede visualizar mediante:

  • Método de cabeza a cola: mover la cola de un vector a la cabeza del otro;
  • Método del paralelogramo: ambos vectores parten del mismo punto y forman un paralelogramo.

Resta

Para restar un vector de otro:

a⃗−b⃗=(a1−b1,  a2−b2)\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, \; a_2 - b_2)

Esto genera un nuevo vector que apunta desde la cabeza del segundo hasta la cabeza del primero.

Multiplicación por un escalar

Multiplicar un vector por un número (un escalar) estira o invierte el vector:

k⋅a⃗=(k⋅a1,  k⋅a2)k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_1, \; k \cdot a_2)
  • Si k>1k > 1, el vector se estira en la misma dirección;
  • Si 0<k<10 < k < 1, el vector se reduce;
  • Si k<0k < 0, invierte su dirección;
  • Si k=0k = 0, se convierte en el vector cero.

Magnitud (Longitud) de un Vector

La magnitud o longitud de un vector se calcula con el teorema de Pitágoras:

∣a⃗∣=a12+a22|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

Esto proporciona la distancia en línea recta desde el origen hasta el extremo del vector.

El Producto Punto

El producto punto combina dos vectores en un solo número que refleja cuán alineados están:

a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
  • Si el resultado es positivo: los vectores apuntan en una dirección similar;
  • Si el resultado es cero: los vectores son perpendiculares;
  • Si el resultado es negativo: apuntan en direcciones opuestas.

Ejemplo

Si a⃗=(1,2)  y  b⃗=(3,4) \vec{a} = (1, 2)\ \ \text{y}\ \ \vec{b} = (3, 4), entonces:

a⃗⋅b⃗=1⋅3+2⋅4=11\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 11
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Si a⃗=(1,0), b⃗=(0,1)\vec{a} = (1, 0),\ \vec{b} = (0, 1). Entonces su producto punto es:

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