Aprende Operaciones con Matrices | Fundamentos de Álgebra Lineal

Definición

Una matriz es un arreglo rectangular de números organizados en filas y columnas, utilizado para representar y resolver problemas matemáticos de manera eficiente.

Antes de abordar sistemas lineales, como $A\vec{x} = \vec{b}$ , es fundamental comprender cómo se comportan las matrices y qué operaciones se pueden realizar con ellas.

Suma de matrices

Solo se pueden sumar dos matrices si tienen la misma forma (el mismo número de filas y columnas).

Sea:

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}

Entonces:

A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}

Multiplicación por un escalar

También es posible multiplicar una matriz por un escalar (un solo número):

k \cdot A = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{bmatrix}

Multiplicación de matrices y compatibilidad de tamaños

La multiplicación de matrices es una operación fila por columna, no elemento a elemento.

Regla: si la matriz $A$ tiene dimensión $(m \times n)$ y la matriz $B$ tiene dimensión $(n \times p)$ , entonces:

La multiplicación $AB$ es válida;
El resultado será una matriz de dimensión $(m \times p)$ .

Ejemplo:

Sean:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \ \ B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}

$A$ es $(2 \times 2)$ y $B$ es $(2 \times 1)$ , entonces $AB$ es válido y resulta en una matriz $(2 \times 1)$ :

A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}

Transpuesta de una matriz

La transpuesta de una matriz intercambia filas y columnas. Se denota como $A^T$ .

Sean:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Entonces:

A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

Propiedades:

$(A^T)^T = A$ ;
$(A + B)^T = A^T + B^T$ ;
$(AB)^T = B^T A^T$ .

Determinante de una matriz

Matriz 2×2

Para:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

El determinante es:

\det(A) = ad - bc

Matriz 3×3

Para:

A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

El determinante es:

\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Este método se denomina expansión por cofactores.

Las matrices de mayor tamaño (4×4 en adelante) pueden expandirse recursivamente.
El determinante es útil porque indica si una matriz tiene inversa (determinante distinto de cero).

Inversa de una matriz

La inversa de una matriz cuadrada $A$ se denota como $A^{-1}$ . Satisface $A \cdot A^{-1} = I$ , donde $I$ es la matriz identidad.

Solo las matrices cuadradas con determinante distinto de cero tienen inversa.

Ejemplo:

Si la matriz A es:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Entonces su matriz inversa $A^{-1}$ es:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Donde $\det(A) \neq 0$ .

¿Todo estuvo claro?

¡Gracias por tus comentarios!

Sección 4. Capítulo 3

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Definición

Una matriz es un arreglo rectangular de números organizados en filas y columnas, utilizado para representar y resolver problemas matemáticos de manera eficiente.

Antes de abordar sistemas lineales, como $A\vec{x} = \vec{b}$ , es fundamental comprender cómo se comportan las matrices y qué operaciones se pueden realizar con ellas.

Suma de matrices

Solo se pueden sumar dos matrices si tienen la misma forma (el mismo número de filas y columnas).

Sea:

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}

Entonces:

A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}

Multiplicación por un escalar

También es posible multiplicar una matriz por un escalar (un solo número):

k \cdot A = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{bmatrix}

Multiplicación de matrices y compatibilidad de tamaños

La multiplicación de matrices es una operación fila por columna, no elemento a elemento.

Regla: si la matriz $A$ tiene dimensión $(m \times n)$ y la matriz $B$ tiene dimensión $(n \times p)$ , entonces:

La multiplicación $AB$ es válida;
El resultado será una matriz de dimensión $(m \times p)$ .

Ejemplo:

Sean:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \ \ B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}

$A$ es $(2 \times 2)$ y $B$ es $(2 \times 1)$ , entonces $AB$ es válido y resulta en una matriz $(2 \times 1)$ :

A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}

Transpuesta de una matriz

La transpuesta de una matriz intercambia filas y columnas. Se denota como $A^T$ .

Sean:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Entonces:

A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

Propiedades:

$(A^T)^T = A$ ;
$(A + B)^T = A^T + B^T$ ;
$(AB)^T = B^T A^T$ .

Determinante de una matriz

Matriz 2×2

Para:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

El determinante es:

\det(A) = ad - bc

Matriz 3×3

Para:

A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

El determinante es:

\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Este método se denomina expansión por cofactores.

Las matrices de mayor tamaño (4×4 en adelante) pueden expandirse recursivamente.
El determinante es útil porque indica si una matriz tiene inversa (determinante distinto de cero).

Inversa de una matriz

La inversa de una matriz cuadrada $A$ se denota como $A^{-1}$ . Satisface $A \cdot A^{-1} = I$ , donde $I$ es la matriz identidad.

Solo las matrices cuadradas con determinante distinto de cero tienen inversa.

Ejemplo:

Si la matriz A es:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Entonces su matriz inversa $A^{-1}$ es:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Donde $\det(A) \neq 0$ .

¿Todo estuvo claro?

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Sección 4. Capítulo 3