Aprende Introducción a la Descomposición de Matrices

Resolver sistemas como $A \vec{x} = \vec{b}$ puede ser computacionalmente intensivo, especialmente para sistemas grandes.

La descomposición matricial simplifica este proceso al dividir la matriz $A$ en partes más simples, que luego se pueden resolver por etapas.

LU vs QR

Descomponemos la matriz $A$ en otras matrices estructuradas.

Descomposición LU

Divide $A$ en una matriz triangular inferior y una superior:

Construida usando eliminación de Gauss;
Funciona mejor para matrices cuadradas.

A = LU

Descomposición QR

Divide $A$ en una matriz ortogonal y una superior:

Frecuentemente utilizada para matrices no cuadradas;
Ideal para problemas de mínimos cuadrados o cuando LU no es aplicable.

A = QR

Descomposición LU

Comenzar con una matriz cuadrada:

A = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}

El objetivo es escribir esto como:

A = LU

Donde:

L = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{bmatrix},\ \ U = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{bmatrix}

Esta descomposición es posible si A es cuadrada e invertible.

Puntos importantes:

Las matrices triangulares inferiores tienen todas las entradas por encima de la diagonal iguales a cero, lo que simplifica la sustitución hacia adelante;
Las matrices triangulares superiores tienen ceros por debajo de la diagonal, facilitando la sustitución hacia atrás;
Una matriz ortogonal tiene columnas que son vectores ortonormales (vectores de longitud 1 que son perpendiculares);
Esta propiedad preserva la longitud y los ángulos de los vectores, lo cual es útil para resolver mínimos cuadrados y mejorar la estabilidad numérica.

Eliminación Gaussiana

Aplicar la eliminación gaussiana para eliminar la entrada debajo del pivote en la esquina superior izquierda:

R_2 \rarr R_2 - \frac{6}{4}R_1

Esto nos da:

R'_2 = [0, -1.5]

Así, las matrices actualizadas son:

U = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 0 & -1.5 \end{bmatrix}

Y a partir de nuestra operación de fila, sabemos que:

L = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1.5 & 1 \end{bmatrix}

Puntos importantes:

La eliminación gaussiana elimina sistemáticamente las entradas debajo del elemento pivote en cada columna restando versiones escaladas de la fila pivote de las filas inferiores;
Este proceso transforma A en una matriz triangular superior U;
Los multiplicadores utilizados para eliminar estas entradas se almacenan en L, lo que permite representar A como el producto LU.

Resultado de la descomposición LU

Verificamos:

A = LU = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1.5 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 0 & -1.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}

Ahora el sistema $A \vec{x} = \vec{b}$ puede resolverse en dos pasos:

Resolver $L \vec{y} = \vec{b}$ mediante sustitución hacia adelante;
Resolver $U \vec{x} = \vec{y}$ mediante sustitución hacia atrás.

Descomposición QR

Se busca expresar una matriz $A$ como el producto de dos matrices:

A = QR

Donde:

$A$ es la matriz de entrada (por ejemplo, datos, coeficientes, etc.);
$Q$ es una matriz ortogonal (sus columnas son vectores ortonormales);
$R$ es una matriz triangular superior.

Ejemplo de desglose de forma:

A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} q_1 & q_2 \\ q_3 & q_4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} \\ 0 & r_{22} \end{bmatrix}

Esta descomposición se utiliza frecuentemente cuando:

La matriz A no es cuadrada;
Resolución de problemas de mínimos cuadrados;
La descomposición LU no es estable.

¿Qué son los vectores ortonormales?

Vectores ortogonales

Dos vectores $u, v$ son ortogonales si su producto punto es cero:

u \cdot v = 0

Vector normalizado

Un vector $u$ está normalizado cuando $|u| = 1$ .

Conjunto ortonormal

Un conjunto de vectores $\{q_1, q_2, ..., q_k\}$ es ortonormal si cada uno tiene longitud unitaria y son mutuamente ortogonales:

q_i \cdot q_j = \begin{cases} 1,\ \text{si}\ \ i = j,\\ 0,\ \text{si}\ \ i \neq j. \end{cases}

Importancia: las columnas ortonormales en $Q$ preservan la geometría, simplifican las proyecciones y mejoran la estabilidad numérica.

Definir la matriz A

Comencemos con este ejemplo:

A = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}

Utilizaremos el proceso de Gram-Schmidt para encontrar las matrices $Q$ y $R$ tales que $A=QR$ . El proceso de Gram-Schmidt crea un conjunto ortonormal de vectores a partir de las columnas de $A$ .

Esto significa que los vectores en $Q$ son todos perpendiculares (ortogonales) entre sí y tienen longitud unitaria (normalizados). Esta propiedad simplifica muchos cálculos y mejora la estabilidad numérica al resolver sistemas.

Por lo tanto, el objetivo aquí es:

Hacer que las columnas de $Q$ sean ortonormales;
Crear la matriz $R$ que codificará las proyecciones.

Calcular el primer vector base

Extraemos la primera columna de $A$ :

a_1 = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Para normalizar esto, calculamos la norma:

|a_1| = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}

Luego:

q_1 = \frac{1}{\sqrt{52}} \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{4}{\sqrt{52}} \\ \frac{6}{\sqrt{52}} \end{bmatrix}

Este es el primer vector ortonormal para $Q$ .

Cómo normalizar un vector

Dado un vector:

v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}

Calculamos su norma:

|v| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + ... + v^2_n}

Luego normalizamos:

\hat{v} = \frac{1}{|v|}v

Ejemplo:

v = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix},\ \ |v| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5

Así, nuestro vector normalizado es:

\hat{v} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.8 \end{bmatrix}

Una vez que sabemos cómo normalizar y ortogonalizar vectores, podemos aplicar el proceso de Gram-Schmidt para formar la matriz $Q$ y usarla para calcular $R$ en la descomposición QR.

Calcular q₂ usando Gram-Schmidt

Para calcular $q_2$ , comenzamos con la segunda columna de $A$ :

a_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix}

A continuación, proyecta $a_2$ sobre $q_1$ :

r_{12} = q_1^Ta_2 = \frac{1}{\sqrt{52}}(4 \cdot 3 + 6 \cdot 3) = \frac{1}{\sqrt{52}} \cdot 30

Elimina la proyección de $a_2$ :

u_2 = a_2 - r_{12}q_1

Luego normaliza (como se mostró anteriormente):

q_2 = \frac{u_2}{|u_2|}

Ahora tanto $q_1$ como $q_2$ forman la base ortonormal para $Q$ . Ahora puedes ensamblar el resultado final:

Q = \begin{bmatrix} q_1 & q_2 \end{bmatrix},\ \ R = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} \\ 0 & r_{22} \end{bmatrix}

Estos satisfacen:

A = QR

¿Todo estuvo claro?

¡Gracias por tus comentarios!

Sección 4. Capítulo 8

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Resolver sistemas como $A \vec{x} = \vec{b}$ puede ser computacionalmente intensivo, especialmente para sistemas grandes.

La descomposición matricial simplifica este proceso al dividir la matriz $A$ en partes más simples, que luego se pueden resolver por etapas.

LU vs QR

Descomponemos la matriz $A$ en otras matrices estructuradas.

Descomposición LU

Divide $A$ en una matriz triangular inferior y una superior:

Construida usando eliminación de Gauss;
Funciona mejor para matrices cuadradas.

A = LU

Descomposición QR

Divide $A$ en una matriz ortogonal y una superior:

Frecuentemente utilizada para matrices no cuadradas;
Ideal para problemas de mínimos cuadrados o cuando LU no es aplicable.

A = QR

Descomposición LU

Comenzar con una matriz cuadrada:

A = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}

El objetivo es escribir esto como:

A = LU

Donde:

L = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{bmatrix},\ \ U = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{bmatrix}

Esta descomposición es posible si A es cuadrada e invertible.

Puntos importantes:

Las matrices triangulares inferiores tienen todas las entradas por encima de la diagonal iguales a cero, lo que simplifica la sustitución hacia adelante;
Las matrices triangulares superiores tienen ceros por debajo de la diagonal, facilitando la sustitución hacia atrás;
Una matriz ortogonal tiene columnas que son vectores ortonormales (vectores de longitud 1 que son perpendiculares);
Esta propiedad preserva la longitud y los ángulos de los vectores, lo cual es útil para resolver mínimos cuadrados y mejorar la estabilidad numérica.

Eliminación Gaussiana

Aplicar la eliminación gaussiana para eliminar la entrada debajo del pivote en la esquina superior izquierda:

R_2 \rarr R_2 - \frac{6}{4}R_1

Esto nos da:

R'_2 = [0, -1.5]

Así, las matrices actualizadas son:

U = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 0 & -1.5 \end{bmatrix}

Y a partir de nuestra operación de fila, sabemos que:

L = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1.5 & 1 \end{bmatrix}

Puntos importantes:

La eliminación gaussiana elimina sistemáticamente las entradas debajo del elemento pivote en cada columna restando versiones escaladas de la fila pivote de las filas inferiores;
Este proceso transforma A en una matriz triangular superior U;
Los multiplicadores utilizados para eliminar estas entradas se almacenan en L, lo que permite representar A como el producto LU.

Resultado de la descomposición LU

Verificamos:

A = LU = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1.5 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 0 & -1.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}

Ahora el sistema $A \vec{x} = \vec{b}$ puede resolverse en dos pasos:

Resolver $L \vec{y} = \vec{b}$ mediante sustitución hacia adelante;
Resolver $U \vec{x} = \vec{y}$ mediante sustitución hacia atrás.

Descomposición QR

Se busca expresar una matriz $A$ como el producto de dos matrices:

A = QR

Donde:

$A$ es la matriz de entrada (por ejemplo, datos, coeficientes, etc.);
$Q$ es una matriz ortogonal (sus columnas son vectores ortonormales);
$R$ es una matriz triangular superior.

Ejemplo de desglose de forma:

A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} q_1 & q_2 \\ q_3 & q_4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} \\ 0 & r_{22} \end{bmatrix}

Esta descomposición se utiliza frecuentemente cuando:

La matriz A no es cuadrada;
Resolución de problemas de mínimos cuadrados;
La descomposición LU no es estable.

¿Qué son los vectores ortonormales?

Vectores ortogonales

Dos vectores $u, v$ son ortogonales si su producto punto es cero:

u \cdot v = 0

Vector normalizado

Un vector $u$ está normalizado cuando $|u| = 1$ .

Conjunto ortonormal

Un conjunto de vectores $\{q_1, q_2, ..., q_k\}$ es ortonormal si cada uno tiene longitud unitaria y son mutuamente ortogonales:

q_i \cdot q_j = \begin{cases} 1,\ \text{si}\ \ i = j,\\ 0,\ \text{si}\ \ i \neq j. \end{cases}

Importancia: las columnas ortonormales en $Q$ preservan la geometría, simplifican las proyecciones y mejoran la estabilidad numérica.

Definir la matriz A

Comencemos con este ejemplo:

A = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}

Por lo tanto, el objetivo aquí es:

Hacer que las columnas de $Q$ sean ortonormales;
Crear la matriz $R$ que codificará las proyecciones.

Calcular el primer vector base

Extraemos la primera columna de $A$ :

a_1 = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Para normalizar esto, calculamos la norma:

|a_1| = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}

Luego:

q_1 = \frac{1}{\sqrt{52}} \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{4}{\sqrt{52}} \\ \frac{6}{\sqrt{52}} \end{bmatrix}

Este es el primer vector ortonormal para $Q$ .

Cómo normalizar un vector

Dado un vector:

v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}

Calculamos su norma:

|v| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + ... + v^2_n}

Luego normalizamos:

\hat{v} = \frac{1}{|v|}v

Ejemplo:

v = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix},\ \ |v| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5

Así, nuestro vector normalizado es:

\hat{v} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.8 \end{bmatrix}

Una vez que sabemos cómo normalizar y ortogonalizar vectores, podemos aplicar el proceso de Gram-Schmidt para formar la matriz $Q$ y usarla para calcular $R$ en la descomposición QR.

Calcular q₂ usando Gram-Schmidt

Para calcular $q_2$ , comenzamos con la segunda columna de $A$ :

a_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix}

A continuación, proyecta $a_2$ sobre $q_1$ :

r_{12} = q_1^Ta_2 = \frac{1}{\sqrt{52}}(4 \cdot 3 + 6 \cdot 3) = \frac{1}{\sqrt{52}} \cdot 30

Elimina la proyección de $a_2$ :

u_2 = a_2 - r_{12}q_1

Luego normaliza (como se mostró anteriormente):

q_2 = \frac{u_2}{|u_2|}

Ahora tanto $q_1$ como $q_2$ forman la base ortonormal para $Q$ . Ahora puedes ensamblar el resultado final:

Q = \begin{bmatrix} q_1 & q_2 \end{bmatrix},\ \ R = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} \\ 0 & r_{22} \end{bmatrix}

Estos satisfacen:

A = QR

¿Todo estuvo claro?

¡Gracias por tus comentarios!

Sección 4. Capítulo 8