En Python, es posible calcular derivadas de forma simbólica utilizando sympy y visualizarlas con matplotlib.

1. Cálculo simbólico de derivadas

# Define symbolic variable x
x = sp.symbols('x')
# Define the functions
f1 = sp.exp(x)  
f2 = 1 / (1 + sp.exp(-x))  
# Compute derivatives symbolically
df1 = sp.diff(f1, x)  
df2 = sp.diff(f2, x)

Explicación:

• Se define x como una variable simbólica usando sp.symbols('x');
• La función sp.diff(f, x) calcula la derivada de f respecto a x;
• Esto permite manipular derivadas algebraicamente en Python.

2. Evaluación y graficación de funciones y sus derivadas

# Convert symbolic functions to numerical functions for plotting
f1_lambda = sp.lambdify(x, f1, 'numpy')
df1_lambda = sp.lambdify(x, df1, 'numpy')
f2_lambda = sp.lambdify(x, f2, 'numpy')
df2_lambda = sp.lambdify(x, df2, 'numpy')

Explicación:

• sp.lambdify(x, f, 'numpy') convierte una función simbólica en una función numérica que puede ser evaluada usando numpy;
• Esto es necesario porque matplotlib y numpy operan sobre arreglos numéricos, no sobre expresiones simbólicas.

3. Impresión de evaluaciones de derivadas en puntos clave

Para verificar los cálculos, se imprimen los valores de las derivadas en x = [-5, 0, 5].

# Evaluate derivatives at key points
test_points = [-5, 0, 5]
for x_val in test_points:
    print(f"x = {x_val}: e^x = {f2_lambda(x_val):.4f}, e^x' = {df2_lambda(x_val):.4f}")
    print(f"x = {x_val}: sigmoid(x) = {f4_lambda(x_val):.4f}, sigmoid'(x) = {df4_lambda(x_val):.4f}")
    print("-" * 50)