Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Aprende Introducción a las Integrales | Análisis Matemático
Matemáticas para Ciencia de Datos

bookIntroducción a las Integrales

Note
Definición

La integración es un concepto fundamental en el cálculo que representa la acumulación total de una cantidad, como el área bajo una curva. Es esencial en ciencia de datos para calcular distribuciones de probabilidad, valores acumulativos y optimización.

Integral básica

La integral básica de una función potencia sigue esta regla:

∫Cxndx=C(xn+1n+1)+C\int Cx^ndx = C\left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) + C

Donde:

  • CC es una constante;
  • n≠−1n \neq -1;
  • ...+C...+C representa una constante arbitraria de integración.

Idea clave: si la derivación reduce la potencia de xx, la integración la incrementa.

Reglas comunes de integración

Regla de la potencia para la integración

Esta regla ayuda a integrar cualquier expresión polinómica:

∫xndx=xn+1n+1+C, n≠−1\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+ C,\ n \neq -1

Por ejemplo, si n=2n = 2:

∫x2dx=x33+C\int x^2dx = \frac{x^3}{3}+C

Regla exponencial

La integral de la función exponencial exe^x es única porque permanece igual después de integrar:

∫exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C

Pero si el exponente tiene un coeficiente, se utiliza otra regla:

∫eaxdx=1aeax+C, a≠0\int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C,\ a \neq 0

Por ejemplo, si a=2a = 2:

∫e2xdx=e2x2+C\int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2} + C

Integrales trigonométricas

Las funciones seno y coseno también siguen reglas de integración directas:

∫sin⁡(x)dx=−cos⁡(x)+C∫cos⁡(x)dx=sin⁡(x)+C\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C \\ \int \cos(x) dx = \sin(x) + C

Integrales definidas

A diferencia de las integrales indefinidas, que incluyen una constante arbitraria CC, las integrales definidas evalúan una función entre dos límites aa y bb:

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Donde F(x)F(x) es la antiderivada de f(x)f(x).

Por ejemplo, si f(x)=2xf(x) = 2x, a=0a = 0 y b=2b = 2:

∫022x dx=[x2]=4−0=4\int^2_0 2x\ dx = \left[ x^2 \right] = 4 - 0 = 4

Esto significa que el área bajo la curva y=2xy = 2x desde x=0x=0 hasta x=2x=2 es 44.

question mark

Calcule la integral:

∫3x2dx\int 3x^2 dx

Select the correct answer

¿Todo estuvo claro?

¿Cómo podemos mejorarlo?

¡Gracias por tus comentarios!

Sección 3. Capítulo 5

Pregunte a AI

expand

Pregunte a AI

ChatGPT

Pregunte lo que quiera o pruebe una de las preguntas sugeridas para comenzar nuestra charla

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

bookIntroducción a las Integrales

Desliza para mostrar el menú

Note
Definición

La integración es un concepto fundamental en el cálculo que representa la acumulación total de una cantidad, como el área bajo una curva. Es esencial en ciencia de datos para calcular distribuciones de probabilidad, valores acumulativos y optimización.

Integral básica

La integral básica de una función potencia sigue esta regla:

∫Cxndx=C(xn+1n+1)+C\int Cx^ndx = C\left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) + C

Donde:

  • CC es una constante;
  • n≠−1n \neq -1;
  • ...+C...+C representa una constante arbitraria de integración.

Idea clave: si la derivación reduce la potencia de xx, la integración la incrementa.

Reglas comunes de integración

Regla de la potencia para la integración

Esta regla ayuda a integrar cualquier expresión polinómica:

∫xndx=xn+1n+1+C, n≠−1\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+ C,\ n \neq -1

Por ejemplo, si n=2n = 2:

∫x2dx=x33+C\int x^2dx = \frac{x^3}{3}+C

Regla exponencial

La integral de la función exponencial exe^x es única porque permanece igual después de integrar:

∫exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C

Pero si el exponente tiene un coeficiente, se utiliza otra regla:

∫eaxdx=1aeax+C, a≠0\int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C,\ a \neq 0

Por ejemplo, si a=2a = 2:

∫e2xdx=e2x2+C\int e^{2x} dx = \frac{e^{2x}}{2} + C

Integrales trigonométricas

Las funciones seno y coseno también siguen reglas de integración directas:

∫sin⁡(x)dx=−cos⁡(x)+C∫cos⁡(x)dx=sin⁡(x)+C\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C \\ \int \cos(x) dx = \sin(x) + C

Integrales definidas

A diferencia de las integrales indefinidas, que incluyen una constante arbitraria CC, las integrales definidas evalúan una función entre dos límites aa y bb:

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Donde F(x)F(x) es la antiderivada de f(x)f(x).

Por ejemplo, si f(x)=2xf(x) = 2x, a=0a = 0 y b=2b = 2:

∫022x dx=[x2]=4−0=4\int^2_0 2x\ dx = \left[ x^2 \right] = 4 - 0 = 4

Esto significa que el área bajo la curva y=2xy = 2x desde x=0x=0 hasta x=2x=2 es 44.

question mark

Calcule la integral:

∫3x2dx\int 3x^2 dx

Select the correct answer

¿Todo estuvo claro?

¿Cómo podemos mejorarlo?

¡Gracias por tus comentarios!

Sección 3. Capítulo 5
some-alt