Introducción a los Límites
Un límite es un concepto fundamental en el cálculo que describe el valor al que se aproxima una función cuando su entrada se acerca a un punto específico. Los límites constituyen la base para definir derivadas e integrales, por lo que son esenciales en el análisis matemático y la optimización en aprendizaje automático.
Definición formal y notación
Un límite representa el valor al que se aproxima una función cuando la entrada se acerca arbitrariamente a un punto.
x→alimf(x)=LEsto significa que cuando x se acerca arbitrariamente a a, f(x) se aproxima a L.
No es necesario que la función esté definida en x=a para que exista el límite.
Límites Laterales y Límites Bilaterales
Un límite puede ser abordado desde cualquiera de los dos lados:
- Límite por la izquierda: acercándose a a desde valores menores que a:
- Límite por la derecha: acercándose a a desde valores mayores que a:
- El límite existe solo si ambos límites laterales son iguales:
Cuando los Límites No Existen
Un límite no existe en los siguientes casos:
- Discontinuidad de salto:
- Ejemplo: una función escalón donde los límites por la izquierda y la derecha son diferentes.
- Límite infinito:
- La función crece sin acotación.
- Oscilación:
- La función fluctúa infinitamente sin estabilizarse en un solo valor.
Caso Especial – Límites en el Infinito
Cuando x tiende a infinito, se analiza el comportamiento al infinito de las funciones:
- Funciones racionales:
- Crecimiento polinómico:
- Regla del término dominante:
¡Gracias por tus comentarios!
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Can you explain the difference between one-sided and two-sided limits?
What are some common techniques for evaluating limits?
Can you give examples of when a limit does not exist?
Awesome!
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Un límite es un concepto fundamental en el cálculo que describe el valor al que se aproxima una función cuando su entrada se acerca a un punto específico. Los límites constituyen la base para definir derivadas e integrales, por lo que son esenciales en el análisis matemático y la optimización en aprendizaje automático.
Definición formal y notación
Un límite representa el valor al que se aproxima una función cuando la entrada se acerca arbitrariamente a un punto.
x→alimf(x)=LEsto significa que cuando x se acerca arbitrariamente a a, f(x) se aproxima a L.
No es necesario que la función esté definida en x=a para que exista el límite.
Límites Laterales y Límites Bilaterales
Un límite puede ser abordado desde cualquiera de los dos lados:
- Límite por la izquierda: acercándose a a desde valores menores que a:
- Límite por la derecha: acercándose a a desde valores mayores que a:
- El límite existe solo si ambos límites laterales son iguales:
Cuando los Límites No Existen
Un límite no existe en los siguientes casos:
- Discontinuidad de salto:
- Ejemplo: una función escalón donde los límites por la izquierda y la derecha son diferentes.
- Límite infinito:
- La función crece sin acotación.
- Oscilación:
- La función fluctúa infinitamente sin estabilizarse en un solo valor.
Caso Especial – Límites en el Infinito
Cuando x tiende a infinito, se analiza el comportamiento al infinito de las funciones:
- Funciones racionales:
- Crecimiento polinómico:
- Regla del término dominante:
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