Aprende Introducción a las Derivadas

Definición

Una derivada es una medida de cómo cambia una función a medida que cambia su entrada. Representa la tasa de cambio de la función y es fundamental para analizar tendencias, optimizar procesos y predecir comportamientos en campos como la física, la economía y el aprendizaje automático.

Definición por límite de la derivada

La derivada de una función $f(x)$ en un punto específico $x = a$ se define como:

\lim_{h \rarr 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Esta fórmula indica cuánto cambia $f(x)$ cuando damos un pequeño paso $h$ a lo largo del eje x. Cuanto más pequeño es $h$ , más nos acercamos a la tasa de cambio instantánea.

Reglas básicas de derivación

Regla de la potencia

Si una función es una potencia de $x$ , la derivada se determina así:

\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}

Esto significa que al derivar, bajamos el exponente y lo reducimos en uno:

\frac{d}{dx}x^3=3x^2

Regla de la constante

La derivada de cualquier constante es cero:

\frac{d}{dx}C=0

Por ejemplo, si $f(x) = 5$ , entonces:

\frac{d}{dx}5=0

Regla de la suma y la diferencia

La derivada de una suma o diferencia de funciones es la siguiente:

\frac{d}{dx} \left[ f(x) \pm g(x) \right] = f'(x) \pm g'(x)

Por ejemplo, diferenciando por separado:

\frac{d}{dx}(x^3 + 2x) = 3x^2 + 2

Reglas del producto y del cociente

Regla del producto

Si dos funciones se multiplican, la derivada se obtiene de la siguiente manera:

\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Esto significa que se deriva cada función por separado y luego se suman sus productos. Si $f(x)=x^2$ y $g(x) = e^x$ , entonces:

\frac{d}{dx}[x^2e^x] = 2xe^x + x^3e^x

Regla del cociente

Al dividir funciones, utilizar:

\frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}

Si $f(x)=x^2$ y $g(x)=x+1$ , entonces:

\frac{d}{dx} \left[ \frac{x^2}{x + 1} \right] = \frac{2x(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2}

Regla de la cadena: derivación de funciones compuestas

Al derivar funciones anidadas, utilizar:

\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Por ejemplo, si $y = (3x + 2)^5$ , entonces:

\frac{d}{dx}(3x+2)^5 = 5(3x+2)^4 \cdot 3 = 15(3x+2)^4

Esta regla es fundamental en redes neuronales y algoritmos de aprendizaje automático.

Ejemplo de la regla de la cadena exponencial:

Al derivar una expresión como:

y =e^{2x^2}

Se trata de una función compuesta:

Función exterior: $e^u$
Función interior: $u = 2x^2$

Aplicar la regla de la cadena paso a paso:

\frac{d}{dx}2x^2=4x

Luego multiplicar por la exponencial original:

\frac{d}{dx}\left( e^{2x^2} \right) = 4x \cdot e^{2x^2}

Estudiar más

En aprendizaje automático y redes neuronales, esto aparece al trabajar con funciones de activación exponenciales o funciones de pérdida.

Ejemplo de la regla de la cadena logarítmica:

Vamos a derivar $\ln(2x)$ . Nuevamente, es una función compuesta: logaritmo por fuera, lineal por dentro.

Derivamos la parte interna:

\frac{d}{dx}(2x)=2

Ahora aplicamos la regla de la cadena al logaritmo:

\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{1}{2x} \cdot 2

Lo que se simplifica a:

\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}

Nota

Incluso si se deriva $\ln(kx)$ , el resultado siempre es $\frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}}$ porque las constantes se cancelan.

Caso especial: Derivada de la función sigmoide

La función sigmoide se utiliza comúnmente en aprendizaje automático:

\sigma(x) = \frac{1}{1+x^{-x}}

Su derivada desempeña un papel clave en la optimización:

\sigma'(x) = \sigma(x)(1 - \sigma(x))

Si $f(x) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-3pt}{$1 + e^{-x}$}}$ , entonces:

f'(x) = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2}

Esta fórmula garantiza que los gradientes permanezcan suaves durante el entrenamiento.

¿Todo estuvo claro?

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Sección 3. Capítulo 3

Pregunte a AI

Pregunte lo que quiera o pruebe una de las preguntas sugeridas para comenzar nuestra charla

Suggested prompts:

Can you explain the limit definition of a derivative with a simple example?

How do the product, quotient, and chain rules differ in practice?

Can you show how to find the derivative of a more complex function using these rules?

Awesome!

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