Aprende Implementación de Límites en Python

Antes de explorar cómo se comportan los límites de forma visual, es necesario saber cómo calcularlos directamente utilizando la biblioteca sympy. A continuación se presentan tres tipos comunes de límites que se pueden encontrar.

1. Límite finito

Este ejemplo muestra una función que se aproxima a un valor finito específico cuando $x \to 2$ .


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import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (x**2 - 4) / (x - 2)

# Compute the limit as x approaches 2
limit_value = sp.limit(f, x, 2)
print("Limit of f(x) as x approaches 2:", limit_value)

2. Límite que no existe

En este caso, la función se comporta de manera diferente desde la izquierda y la derecha, por lo que el límite no existe.


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import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (2 - x)

# Compute the limit as x approaches infinity and negative infinity
left_limit = sp.limit(f, x, -sp.oo)
right_limit = sp.limit(f, x, sp.oo)

print("Left-hand limit:", left_limit)
print("Right-hand limit:", right_limit)

3. Límite infinito

Este ejemplo muestra una función que se aproxima a cero a medida que (x) crece infinitamente.


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import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = 1 / x

# Compute the limit as x approaches infinity
limit_value = sp.limit(f, x, sp.oo)
print("Limit of 1/x as x approaches infinity:", limit_value)

Estos breves fragmentos muestran cómo utilizar sympy.limit() para calcular diferentes tipos de límites: finitos, indefinidos e infinitos, antes de analizarlos gráficamente

Definición de las funciones

f_diff = (2 - x)  # Approaches 2 as x → -∞ and -∞ as x → +∞
f_same = 1 / x  # Approaches 0 as x → ±∞
f_special = sp.sin(x) / x  # Special limit sin(x)/x

f_diff: función lineal simple donde los límites laterales izquierdo y derecho divergen;
f_same: función recíproca clásica, que tiende al mismo límite desde ambos lados;
f_special: límite conocido en cálculo, que es igual a 1 cuando $x \to 0$ .

Manejo de la división por cero

y_vals_same = [f_same.subs(x, val).evalf() if val != 0 else np.nan for val in x_vals]
y_vals_special = [f_special.subs(x, val).evalf() if val != 0 else 1 for val in x_vals]

La función f_same = 1/x presenta un problema en $x = 0$ (división por cero), por lo que se reemplaza por NaN (No es un número) para evitar errores;
Para f_special, se sabe que $\lim_{\raisebox{-1pt}{$x \to 0$}}\frac{\raisebox{1pt}{$sin(x)$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}} = 1$ , por lo que se asigna manualmente $1$ cuando $x = 0$ .

Trazado de asíntotas horizontales

axs[1].axhline(0, color='blue', linestyle='dashed', linewidth=2, label='y = 0 (horizontal asymptote)')
axs[2].axhline(1, color='red', linestyle='dashed', linewidth=2, label=r"$y = 1$ (horizontal asymptote)")

La función 1/x tiene una asíntota horizontal en $y = 0$ ;
La función sin(x)/x tiende a $y = 1$ , por lo que se añade una línea roja discontinua para mayor claridad visual.

¿Todo estuvo claro?

¡Gracias por tus comentarios!

Sección 3. Capítulo 2

Pregunte a AI

Pregunte lo que quiera o pruebe una de las preguntas sugeridas para comenzar nuestra charla

Suggested prompts:

Can you explain more about how to interpret the results of these limits?

What is the significance of horizontal asymptotes in these examples?

Could you provide more details about the special limit involving sin(x)/x?

Awesome!

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