Aprende Introducción a las Series

Definición

Una serie es una expresión matemática formada al sumar los términos de una sucesión. Los tipos más comunes son la serie aritmética y la serie geométrica, que se diferencian en la forma en que progresan sus términos.

Serie aritmética

Una serie aritmética se forma cuando la diferencia entre términos consecutivos en una sucesión es constante.

2, 5, 8, 11, 14, ...; (\text{common difference}, d = 3)

La suma de los primeros $n$ términos de una serie aritmética se expresa como:

S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l)

Donde:

$n$ - número de términos;
$a$ - primer término;
$l$ - último término.

Alternativamente, si el último término $l$ no es conocido:

S_n = \frac{n}{2} \cdot 2a + (n - 1) \cdot d

Ejemplo

Calcular la suma de los primeros 10 términos de la serie $2,5,8,...$

S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 + (10 - 1) \cdot 3) = 5 \cdot (2 + 27) = 145

Series geométrica

Una serie geométrica se forma cuando cada término de la secuencia se multiplica por una razón fija para obtener el siguiente término.

3,6,12,24,48,...;(\text{razón común}, r=2)

La suma de los primeros $n$ términos de una serie geométrica se expresa como:

S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r},\ r \neq 1

Donde:

$a$ - primer término;
$r$ - razón común;
$n$ - número de términos.

Si la serie es infinita y $|r|<1$ :

S = \frac{a}{1 - r}

Ejemplo:

Calcular la suma de los primeros 4 términos de la serie $3,6,12,24,...$

S_4 = 3 \cdot \frac{1-2^4}{1-2} = 3 \cdot \frac{1-16}{-1}=3 \cdot 15 = 45

Aplicaciones en el mundo real

Las series aritméticas y geométricas aparecen en muchos contextos de ciencia de datos:

Crecimiento poblacional y modelado de recursos mediante progresiones geométricas;
Análisis financiero utilizando cálculos de interés compuesto;
Pronóstico de ingresos a lo largo de períodos de tiempo;
Aprendizaje automático, donde las sumatorias aparecen en algoritmos como el descenso por gradiente.

¿Todo estuvo claro?

¡Gracias por tus comentarios!

Sección 2. Capítulo 4

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Definición

Serie aritmética

Una serie aritmética se forma cuando la diferencia entre términos consecutivos en una sucesión es constante.

2, 5, 8, 11, 14, ...; (\text{common difference}, d = 3)

La suma de los primeros $n$ términos de una serie aritmética se expresa como:

S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l)

Donde:

$n$ - número de términos;
$a$ - primer término;
$l$ - último término.

Alternativamente, si el último término $l$ no es conocido:

S_n = \frac{n}{2} \cdot 2a + (n - 1) \cdot d

Ejemplo

Calcular la suma de los primeros 10 términos de la serie $2,5,8,...$

S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 + (10 - 1) \cdot 3) = 5 \cdot (2 + 27) = 145

Series geométrica

Una serie geométrica se forma cuando cada término de la secuencia se multiplica por una razón fija para obtener el siguiente término.

3,6,12,24,48,...;(\text{razón común}, r=2)

La suma de los primeros $n$ términos de una serie geométrica se expresa como:

S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r},\ r \neq 1

Donde:

$a$ - primer término;
$r$ - razón común;
$n$ - número de términos.

Si la serie es infinita y $|r|<1$ :

S = \frac{a}{1 - r}

Ejemplo:

Calcular la suma de los primeros 4 términos de la serie $3,6,12,24,...$

S_4 = 3 \cdot \frac{1-2^4}{1-2} = 3 \cdot \frac{1-16}{-1}=3 \cdot 15 = 45

Aplicaciones en el mundo real

Las series aritméticas y geométricas aparecen en muchos contextos de ciencia de datos:

Crecimiento poblacional y modelado de recursos mediante progresiones geométricas;
Análisis financiero utilizando cálculos de interés compuesto;
Pronóstico de ingresos a lo largo de períodos de tiempo;
Aprendizaje automático, donde las sumatorias aparecen en algoritmos como el descenso por gradiente.

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