Operaciones de Álgebra Lineal

TensorFlow ofrece un conjunto de funciones dedicadas a las operaciones de álgebra lineal, facilitando las operaciones con matrices.

Multiplicación de Matrices

A continuación, un recordatorio rápido de cómo funciona la multiplicación de matrices.

Existen dos enfoques equivalentes para la multiplicación de matrices:

La función tf.matmul();
Usar el operador @.


              1234567891011121314
            
import tensorflow as tf

# Create two matrices
matrix1 = tf.constant([[1, 2], [3, 4], [2, 1]])
matrix2 = tf.constant([[2, 0, 2, 5], [2, 2, 1, 3]])

# Multiply the matrices
product1 = tf.matmul(matrix1, matrix2)
product2 = matrix1 @ matrix2

# Display tensors
print(product1)
print('-' * 50)
print(product2)

Nota

Multiplicar matrices de tamaño 3x2 y 2x4 dará como resultado una matriz de 3x4.

Inversión de matrices

Puedes obtener la inversa de una matriz utilizando la función tf.linalg.inv(). Además, vamos a verificar una propiedad fundamental de la matriz inversa.


              123456789101112131415
            
import tensorflow as tf

# Create 2x2 matrix
matrix = tf.constant([[1., 2.], [3., 4.]])

# Compute the inverse of a matrix
inverse_mat = tf.linalg.inv(matrix)

# Check the result
identity = matrix @ inverse_mat

# Display tensors
print(inverse_mat)
print('-' * 50)
print(identity)

Nota

Multiplicar una matriz por su inversa debe dar como resultado una matriz identidad, que tiene unos en su diagonal principal y ceros en el resto de las posiciones. Además, el módulo tf.linalg ofrece una amplia gama de funciones de álgebra lineal. Para más detalles o para operaciones avanzadas, puedes consultar su documentación oficial.

Transposición

Se puede obtener una matriz transpuesta utilizando la función tf.transpose().


              123456789101112
            
import tensorflow as tf

# Create a matrix 3x2
matrix = tf.constant([[1, 2], [3, 4], [2, 1]])

# Get the transpose of a matrix
transposed = tf.transpose(matrix)

# Display tensors
print(matrix)
print('-' * 40)
print(transposed)

Producto punto

Se puede obtener un producto punto utilizando la función tf.tensordot(). Al configurar el argumento axes, se puede elegir a lo largo de qué ejes calcular el producto punto. Por ejemplo, para dos vectores, al establecer axes=1 se obtiene el producto punto clásico entre vectores. Pero al establecer axes=0, se obtiene una matriz transmitida a lo largo del eje 0:


              1234567891011121314
            
import tensorflow as tf

# Create two vectors
matrix1 = tf.constant([1, 2, 3, 4])
matrix2 = tf.constant([2, 0, 2, 5])

# Compute the dot product of two tensors
dot_product_axes1 = tf.tensordot(matrix1, matrix2, axes=1)
dot_product_axes0 = tf.tensordot(matrix1, matrix2, axes=0)

# Display tensors
print(dot_product_axes1)
print('-' * 40)
print(dot_product_axes0)

Nota

Si se toman dos matrices con dimensiones apropiadas (NxM @ MxK, donde NxM representa las dimensiones de la primera matriz y MxK la segunda), y se calcula el producto punto a lo largo de axes=1, esto realiza esencialmente una multiplicación de matrices.

Tarea

Desliza para comenzar a programar

Contexto

Un sistema de ecuaciones lineales puede representarse en forma matricial utilizando la ecuación:

AX = B

Donde:

A es una matriz de coeficientes;
X es una matriz columna de variables;
B es una matriz columna que representa los valores en el lado derecho de las ecuaciones.

La solución de este sistema puede encontrarse usando la fórmula:

X = A^-1 B

Donde A^-1 es la inversa de la matriz A.

Objetivo

Dado un sistema de ecuaciones lineales, utilizar TensorFlow para resolverlo. Se proporciona el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

2x + 3y - z = 1.
4x + y + 2z = 2.
-x + 2y + 3z = 3.

Representar el sistema de ecuaciones en forma matricial (separándolo en las matrices A y B).
Utilizar TensorFlow para encontrar la inversa de la matriz A.
Multiplicar la inversa de la matriz A por la matriz B para encontrar la matriz solución X, que contiene los valores de x, y y z.

Nota

El slicing en TensorFlow funciona de manera similar a NumPy. Por lo tanto, X[:, 0] recuperará todos los elementos de la columna en el índice 0. Abordaremos el tema del slicing más adelante en el curso.

Solución

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Sección 2. Capítulo 2

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