El problema con la regresión lineal

Antes de definir la regresión polinómica, analizaremos el caso en el que la regresión lineal que hemos estudiado anteriormente no funciona adecuadamente.

Aquí se puede observar que nuestro modelo de regresión lineal simple tiene un desempeño deficiente. Esto se debe a que intenta ajustar una línea recta a los puntos de datos. Sin embargo, podemos notar que ajustar una parábola sería una opción mucho mejor para nuestros puntos.

Ecuación de regresión cuadrática

Para construir un modelo de línea recta, utilizamos una ecuación de línea (y=ax+b). Por lo tanto, para construir un modelo parabólico, necesitamos la ecuación de una parábola. Esta es la ecuación cuadrática: $y=ax²+bx+c$. Cambiar $a$, $b$ y $c$ por $β$ nos da la ecuación de regresión cuadrática:

Donde:

• $\beta_0, \beta_1, \beta_2$ – son los parámetros del modelo;
• $y_{\text{pred}}$ – es la predicción del objetivo;
• $x$ – es el valor de la característica.

El modelo que describe esta ecuación se denomina Regresión Cuadrática. Como antes, solo es necesario encontrar los mejores parámetros para nuestros puntos de datos.

Ecuación Normal y X̃

Como siempre, la Ecuación Normal se encarga de encontrar los mejores parámetros. Pero es necesario definir correctamente la X̃.

Ya sabemos cómo construir la matriz X̃ para la Regresión Lineal Múltiple. Resulta que la matriz X̃ para la Regresión Polinómica se construye de manera similar. Se puede considerar x² como una segunda característica. De este modo, es necesario agregar una nueva columna correspondiente a la X̃. Esta contendrá los mismos valores que la columna anterior, pero elevados al cuadrado.

El siguiente video muestra cómo construir la X̃.