Álgebra Lineal para la Manipulación de Imágenes

El álgebra lineal desempeña un papel fundamental en el procesamiento de imágenes. Dado que las imágenes digitales se representan como matrices de valores de píxeles, operaciones matemáticas como transformaciones, escalados y rotaciones pueden realizarse mediante manipulaciones matriciales. A continuación, se presentan los conceptos esenciales de álgebra lineal utilizados en visión por computadora.

Representación de imágenes como matrices

Una imagen digital es esencialmente una cuadrícula de píxeles, y cada píxel tiene un valor de intensidad. En las imágenes en escala de grises, esto corresponde a una matriz 2D, donde cada elemento representa un nivel de brillo (0 para negro, 255 para blanco). Por ejemplo, una imagen simple en escala de grises de 6×6 podría verse así:

Las imágenes en color, por otro lado, son matrices 3D (también llamadas tensores), con capas separadas para Rojo, Verde y Azul (RGB).

Las imágenes en escala de grises tienen una forma de (60, 60), lo que significa que constan de 60 filas y 60 columnas, y cada píxel representa un único valor de intensidad: solo hay un canal de color. En cambio, las imágenes RGB tienen una forma de (60, 60, 3), lo que indica la misma resolución espacial (60 filas y 60 columnas), pero con una dimensión adicional para el color: cada píxel contiene tres valores correspondientes a los canales rojo, verde y azul que, en conjunto, definen el color completo en ese punto.

Transformaciones de Álgebra Lineal para el Procesamiento de Imágenes

Varias manipulaciones de imágenes dependen de operaciones matriciales, lo que convierte al álgebra lineal en una parte fundamental de la visión por computadora. A continuación, se presentan las transformaciones más utilizadas.

Escalado de Imágenes (Redimensionamiento)

El escalado aumenta o disminuye el tamaño de una imagen. Se logra multiplicando la matriz de la imagen por una matriz de escalado:

donde s_x y s_y son los factores de escala para el ancho y la altura, respectivamente. Ejemplo: Si se desea duplicar el tamaño de una imagen, se utiliza:

Multiplicar esta matriz por las coordenadas de cada píxel aumenta el tamaño de la imagen.

Rotación de imágenes

Para rotar una imagen por un ángulo θ, se utiliza una matriz de rotación:

Por ejemplo, rotar una imagen 90 grados en sentido horario implica utilizar:

Aplicar esta transformación desplaza cada píxel a una nueva posición, rotando efectivamente la imagen.

Cizallamiento (Deformación de una imagen)

El cizallamiento distorsiona una imagen desplazando sus filas o columnas. La matriz de transformación de cizallamiento es:

donde ω_x y ω_y definen cuánto se deforma la imagen horizontal y verticalmente. Desplazamiento de una imagen 30% horizontalmente y 20% verticalmente:

Por qué el álgebra lineal es importante en la visión por computadora

El álgebra lineal es la base de muchas tareas de procesamiento de imágenes, incluyendo:

• Detección de objetos (las cajas delimitadoras dependen de transformaciones);

• Reconocimiento facial (autovectores y PCA para la extracción de características);

• Mejora de imágenes (el filtrado utiliza convoluciones de matrices);

• Redes neuronales (los pesos se almacenan como matrices).

Al comprender estas operaciones fundamentales, es posible manipular imágenes de manera efectiva y desarrollar aplicaciones de visión por computadora más avanzadas.