Oppiskele Ehdollisen Todennäköisyyden ja Bayesin Lauseen Toteuttaminen Pythonilla

Ehdollinen todennäköisyys

Ehdollinen todennäköisyys mittaa tapahtuman todennäköisyyttä, kun tiedetään, että jokin toinen tapahtuma on jo toteutunut.

Kaava:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}


              12345
            
P_A_and_B = 0.1  # Probability late AND raining
P_B = 0.2        # Probability raining

P_A_given_B = P_A_and_B / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.2f}")  # Output: 0.5

Tulkinta: Jos sataa, on 50 %:n todennäköisyys, että myöhästyt töistä.

Bayes'n kaava

Bayes'n kaava auttaa löytämään $P(A|B)$ tilanteissa, joissa sen mittaaminen suoraan on vaikeaa, yhdistämällä sen $P(B|A)$:han, joka on usein helpompi arvioida.

Kaava:

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}

Missä:

$P(A \mid B)$ – A:n todennäköisyys ehdolla B (tavoite);
$P(B \mid A)$ – B:n todennäköisyys ehdolla A;
$P(A)$ – A:n prior-todennäköisyys;
$P(B)$ – B:n kokonaistodennäköisyys.

$P(B)$ laajennettuna

P(B) = P(B \mid A) P(A) + P(B \mid \neg A) P(\neg A)


              123456789101112
            
P_A = 0.01                # Disease prevalence
P_not_A = 1 - P_A
P_B_given_A = 0.99        # Sensitivity
P_B_given_not_A = 0.05    # False positive rate

# Total probability of testing positive
P_B = (P_B_given_A * P_A) + (P_B_given_not_A * P_not_A)
print(f"P(B) = {P_B:.4f}")  # Output: 0.0594

# Apply Bayes’ Theorem
P_A_given_B = (P_B_given_A * P_A) / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.4f}")  # Output: 0.1672

Tulkinta: Vaikka testitulos olisi positiivinen, on vain noin 16,7 %:n todennäköisyys, että henkilöllä on todella tauti.

Keskeiset huomiot

Ehdollinen todennäköisyys määrittää A:n todennäköisyyden, kun tiedetään B:n tapahtuneen;
Bayesin kaava kääntää ehdolliset todennäköisyydet ja päivittää uskomuksia, kun suora mittaus on vaikeaa;
Molemmat ovat olennaisia data-analytiikassa, lääketieteellisessä testauksessa ja koneoppimisessa.

Oliko kaikki selvää?

Kiitos palautteestasi!

Osio 5. Luku 4

Kysy tekoälyä

Kysy mitä tahansa tai kokeile jotakin ehdotetuista kysymyksistä aloittaaksesi keskustelumme

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Pyyhkäise näyttääksesi valikon

Ehdollinen todennäköisyys

Ehdollinen todennäköisyys mittaa tapahtuman todennäköisyyttä, kun tiedetään, että jokin toinen tapahtuma on jo toteutunut.

Kaava:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}


              12345
            
P_A_and_B = 0.1  # Probability late AND raining
P_B = 0.2        # Probability raining

P_A_given_B = P_A_and_B / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.2f}")  # Output: 0.5

Tulkinta: Jos sataa, on 50 %:n todennäköisyys, että myöhästyt töistä.

Bayes'n kaava

Bayes'n kaava auttaa löytämään $P(A|B)$ tilanteissa, joissa sen mittaaminen suoraan on vaikeaa, yhdistämällä sen $P(B|A)$:han, joka on usein helpompi arvioida.

Kaava:

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)}

Missä:

$P(A \mid B)$ – A:n todennäköisyys ehdolla B (tavoite);
$P(B \mid A)$ – B:n todennäköisyys ehdolla A;
$P(A)$ – A:n prior-todennäköisyys;
$P(B)$ – B:n kokonaistodennäköisyys.

$P(B)$ laajennettuna

P(B) = P(B \mid A) P(A) + P(B \mid \neg A) P(\neg A)


              123456789101112
            
P_A = 0.01                # Disease prevalence
P_not_A = 1 - P_A
P_B_given_A = 0.99        # Sensitivity
P_B_given_not_A = 0.05    # False positive rate

# Total probability of testing positive
P_B = (P_B_given_A * P_A) + (P_B_given_not_A * P_not_A)
print(f"P(B) = {P_B:.4f}")  # Output: 0.0594

# Apply Bayes’ Theorem
P_A_given_B = (P_B_given_A * P_A) / P_B
print(f"P(A|B) = {P_A_given_B:.4f}")  # Output: 0.1672

Tulkinta: Vaikka testitulos olisi positiivinen, on vain noin 16,7 %:n todennäköisyys, että henkilöllä on todella tauti.

Keskeiset huomiot

Ehdollinen todennäköisyys määrittää A:n todennäköisyyden, kun tiedetään B:n tapahtuneen;
Bayesin kaava kääntää ehdolliset todennäköisyydet ja päivittää uskomuksia, kun suora mittaus on vaikeaa;
Molemmat ovat olennaisia data-analytiikassa, lääketieteellisessä testauksessa ja koneoppimisessa.

Oliko kaikki selvää?

Kiitos palautteestasi!

Osio 5. Luku 4