Summary  
This chapter explains how to implement code to calculate the mean, variance, and standard deviation of a dataset in order to quantify its central tendency and spread.

General domain of usage  
Website traffic analysis

Keskiarvo on kaikkien arvojen summa jaettuna arvojen lukumäärällä. Se kuvaa aineiston **"keskimääräistä"** tai **"tyypillistä"** arvoa.

Määritelmä

**Kaava:**

$$
\text{Mean} = \frac{\sum x_i}{n}
$$

**Esimerkki:**  
Jos verkkosivustollasi oli 100, 120 ja 110 kävijää kolmen päivän aikana:

$$
\frac{100 + 120 + 110}{3} = 110
$$

**Tulkinta:**  
Keskimäärin sivusto sai 110 kävijää päivässä.


Varianssi mittaa, kuinka kaukana kukin arvo on keskiarvosta. Se antaa käsityksen siitä, kuinka **"hajallaan"** data on.

**Kaava:**

$$
\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \mu)^2}{n}
$$

**Esimerkki (käyttäen aiempia tietoja):**  

- Keskiarvo = 110;
- $$(100 − 110)^2 = 100$$;
- $$(120 − 110)^2 = 100$$; 
- $$(110 − 110)^2 = 0$$.

Summa = 200  

$$
\text{Variance} = \frac{200}{3} \approx 66.67
$$

**Tulkinta:**  
Keskimääräinen neliöpoikkeama keskiarvosta on noin 66,67.

Keskihajonta on varianssin neliöjuuri. Se palauttaa hajonnan alkuperäisiin mittayksiköihin.

**Kaava:**

$$
\sigma = \sqrt{\sigma^2}
$$

**Esimerkki:**  
Jos varianssi on 66.67:

$$
\sigma = \sqrt{66.67} \approx 8.16
$$

**Tulkinta:**  
Keskimäärin jokaisen päivän kävijämäärä poikkeaa noin 8.16 keskiarvosta.

## Reaali­maailman ongelma: Verkkosivuliikenteen analyysi

**Ongelma:**  
Data-analyytikko kirjaa ylös verkkosivun kävijämäärät viiden päivän ajalta:  

$$
120, 150, 130, 170, 140
$$

**Vaihe 1 — Keskiarvo:**  

$$
\frac{120 + 150 + 130 + 170 + 140}{5} = 142
$$

**Vaihe 2 — Varianssi:**  

- $$(120 - 142)^2 = 484$$;
- $$(150 - 142)^2 = 64$$;
- $$(130 - 142)^2 = 144$$;
- $$(170 - 142)^2 = 784$$;
- $$(140 - 142)^2 = 4$$.

$$
\text{Varianssi} = \frac{484+64+144+784+4}{5} = \frac{1480}{5} = 296
$$

**Vaihe 3 — Keskihajonta:**  

$$
\sigma = \sqrt{296} \approx 17.2
$$

**Johtopäätös:**  
- Keskiarvo = 142 kävijää päivässä;
- Varianssi = 296;
- Keskihajonta = 17.2.

Verkkosivun liikenne vaihtelee keskimäärin noin 17,2 kävijällä päivässä.

Mikä on varianssin ja keskihajonnan välinen suhde?

Hallitse data-analytiikan kannalta olennaiset matemaattiset perusteet. Tutustu keskeisiin käsitteisiin funktioissa, analyysissä, lineaarialgebrassa, todennäköisyyslaskennassa ja ulottuvuuden vähentämisessä. Rakenna sekä teoreettista ymmärrystä että käytännön ohjelmointitaitoja vahvistaaksesi kykyäsi analysoida dataa, mallintaa monimutkaisia järjestelmiä ja soveltaa edistyneitä koneoppimismenetelmiä.

Tutustu matemaattisten funktioiden perusteisiin. Opiskele erilaisia algebrallisia ja transsendenttisia funktioita, niiden ominaisuuksia sekä niiden toteuttamista Pythonilla reaalimaailman ongelmien ratkaisemiseksi.

Hallitse joukkojen ja sarjojen käsitteet perusoperaatioista käytännön sovelluksiin. Saat käytännön kokemusta joukko-operaatioiden toteuttamisesta sekä aritmeettisten ja geometristen sarjojen käsittelystä Pythonilla.

Kehitä vankka ymmärrys rajoista, derivaatasta, integraaleista ja osittaisderivaatasta. Yhdistä teoria käytäntöön toteuttamalla nämä käsitteet Pythonilla ja soveltamalla niitä optimointiin gradienttimenetelmän avulla.

Vahvista osaamista vektoreista, matriiseista ja muunnoksista. Opiskele hajotelmamenetelmiä ja ominaisarvoanalyysiä, ja syvennä käsitteitä Python-ohjelmointitehtävien sekä käytännön data-analytiikkasovellusten avulla.

Syvenny todennäköisyysteoriaan ja tilastotieteeseen. Tarkastele ehdollista todennäköisyyttä, Bayesin kaavaa ja tilastollisia tunnuslukuja. Toteuta keskeisiä käsitteitä Pythonilla, simuloi jakaumia ja vahvista osaamistasi haasteiden ja tietovisojen avulla.

Keskilukujen ja Hajonnan Ymmärtäminen

Keskiarvo (Mean)

Varianssi

Keskihajonta

Reaalimaailman ongelma: Verkkosivuliikenteen analyysi

Keskilukujen ja Hajonnan Ymmärtäminen

Keskiarvo (Mean)

Varianssi

Keskihajonta

Reaali­maailman ongelma: Verkkosivuliikenteen analyysi

Reaalimaailman ongelma: Verkkosivuliikenteen analyysi