Oppiskele Todennäköisyyden Perusteiden Ymmärtäminen

Määritelmä

Todennäköisyys on mitta sille, kuinka todennäköisesti jokin tapahtuma tapahtuu. Se kuvaa epävarmuutta ja on olennainen käsite esimerkiksi data-analytiikassa, tilastotieteessä ja koneoppimisessa, auttaen analysoimaan ilmiöitä, tekemään ennusteita ja arvioimaan riskejä.

Todennäköisyyden perusmääritelmä

Tapahtuman $A$ todennäköisyys lasketaan kaavalla:

P(A) = \frac{\text{Suotuisten lopputulosten määrä}}{\text{Mahdollisten lopputulosten kokonaismäärä}}

Tämä kaava kertoo, kuinka monella tavalla haluttu tapahtuma voi toteutua verrattuna kaikkiin mahdollisiin lopputuloksiin. Todennäköisyys on aina välillä 0 (mahdoton) ja 1 (varma).

Otosavaruuden ja tapahtumien ymmärtäminen

Otosavaruus – kaikki kokeen mahdolliset lopputulokset;
Tapahtuma – tietty lopputulos tai joukko lopputuloksia, joista ollaan kiinnostuneita.

Esimerkki kolikon heitosta:

Otosavaruus = {Heads, Tails} ;
Tapahtuma A = {Heads} .

Tällöin:

P(A) = \frac{P(\text{Heads})}{P(\text{Heads}) + P(\text{Tails})} = \frac{0.5}{0.5+0.5} = 0.5

Union sääntö: "A TAI B tapahtuu"

Määritelmä: Kahden tapahtuman $A \cup B$ unioni edustaa kaikkia lopputuloksia, joissa joko $A$ tapahtuu, $B$ tapahtuu tai molemmat tapahtuvat.

Kaava:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Leikkaus vähennetään, jotta samoja lopputuloksia ei lasketa kahteen kertaan.

Union esimerkki: Nopan heittäminen

Heitetään kuusisivuista noppaa:

Tapahtuma A = {1, 2, 3} (pieni luku)
Tapahtuma B = {2, 4, 6} (parillinen luku)

Unioni ja leikkaus:

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$
$A \cap B = \{2\}$

Laskut vaiheittain:

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(A \cap B) = \frac{1}{6}

Sovelletaan union kaavaa:

P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Leikkaussääntö: "A JA B tapahtuvat molemmat"

Määritelmä: Kahden tapahtuman $A \cap B$ leikkaus edustaa lopputuloksia, joissa sekä $A$ että $B$ tapahtuvat samanaikaisesti.

Yleinen kaava

Kaikissa tapauksissa:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

missä $P(B|A)$ on ehdollinen todennäköisyys, että $B$ tapahtuu, kun $A$ on jo tapahtunut.

Tapaus 1: Riippumattomat tapahtumat

Jos tapahtumat eivät vaikuta toisiinsa (esim. kolikon heitto ja nopan heitto):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Esimerkki:

$P(\text{Kruuna kolikossa}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$2$}}$ ;
$P(\text{6 nopassa}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$6$}}$ .

Tällöin:

P(A \cap B) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}

Tapaus 2: Riippuvat tapahtumat

Jos ensimmäisen tapahtuman tulos vaikuttaa toiseen (esim. korttien nostaminen ilman palautusta):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

Esimerkki:

$P(\text{ensimmäinen kortti on ässä}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$4$}}{52}$ ;
$P(\text{toinen kortti on ässä | ensimmäinen oli ässä}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$3$}}{\raisebox{-1pt}{$51$}}$ .

Tällöin:

P(A \cap B) = \tfrac{4}{52} \times \tfrac{3}{51} = \tfrac{1}{221}

Oliko kaikki selvää?

Kiitos palautteestasi!

Osio 5. Luku 1

Kysy tekoälyä

Kysy mitä tahansa tai kokeile jotakin ehdotetuista kysymyksistä aloittaaksesi keskustelumme

Suggested prompts:

Can you explain more about the difference between union and intersection in probability?

Could you give another example using Venn diagrams?

How do conditional probabilities fit into these rules?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Pyyhkäise näyttääksesi valikon

Määritelmä

Todennäköisyyden perusmääritelmä

Tapahtuman $A$ todennäköisyys lasketaan kaavalla:

P(A) = \frac{\text{Suotuisten lopputulosten määrä}}{\text{Mahdollisten lopputulosten kokonaismäärä}}

Tämä kaava kertoo, kuinka monella tavalla haluttu tapahtuma voi toteutua verrattuna kaikkiin mahdollisiin lopputuloksiin. Todennäköisyys on aina välillä 0 (mahdoton) ja 1 (varma).

Otosavaruuden ja tapahtumien ymmärtäminen

Otosavaruus – kaikki kokeen mahdolliset lopputulokset;
Tapahtuma – tietty lopputulos tai joukko lopputuloksia, joista ollaan kiinnostuneita.

Esimerkki kolikon heitosta:

Otosavaruus = {Heads, Tails} ;
Tapahtuma A = {Heads} .

Tällöin:

P(A) = \frac{P(\text{Heads})}{P(\text{Heads}) + P(\text{Tails})} = \frac{0.5}{0.5+0.5} = 0.5

Union sääntö: "A TAI B tapahtuu"

Määritelmä: Kahden tapahtuman $A \cup B$ unioni edustaa kaikkia lopputuloksia, joissa joko $A$ tapahtuu, $B$ tapahtuu tai molemmat tapahtuvat.

Kaava:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Leikkaus vähennetään, jotta samoja lopputuloksia ei lasketa kahteen kertaan.

Union esimerkki: Nopan heittäminen

Heitetään kuusisivuista noppaa:

Tapahtuma A = {1, 2, 3} (pieni luku)
Tapahtuma B = {2, 4, 6} (parillinen luku)

Unioni ja leikkaus:

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$
$A \cap B = \{2\}$

Laskut vaiheittain:

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(A \cap B) = \frac{1}{6}

Sovelletaan union kaavaa:

P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Leikkaussääntö: "A JA B tapahtuvat molemmat"

Määritelmä: Kahden tapahtuman $A \cap B$ leikkaus edustaa lopputuloksia, joissa sekä $A$ että $B$ tapahtuvat samanaikaisesti.

Yleinen kaava

Kaikissa tapauksissa:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

missä $P(B|A)$ on ehdollinen todennäköisyys, että $B$ tapahtuu, kun $A$ on jo tapahtunut.

Tapaus 1: Riippumattomat tapahtumat

Jos tapahtumat eivät vaikuta toisiinsa (esim. kolikon heitto ja nopan heitto):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Esimerkki:

$P(\text{Kruuna kolikossa}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$2$}}$ ;
$P(\text{6 nopassa}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$6$}}$ .

Tällöin:

P(A \cap B) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}

Tapaus 2: Riippuvat tapahtumat

Jos ensimmäisen tapahtuman tulos vaikuttaa toiseen (esim. korttien nostaminen ilman palautusta):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

Esimerkki:

$P(\text{ensimmäinen kortti on ässä}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$4$}}{52}$ ;
$P(\text{toinen kortti on ässä | ensimmäinen oli ässä}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$3$}}{\raisebox{-1pt}{$51$}}$ .

Tällöin:

P(A \cap B) = \tfrac{4}{52} \times \tfrac{3}{51} = \tfrac{1}{221}

Oliko kaikki selvää?

Kiitos palautteestasi!

Osio 5. Luku 1