Pyyhkäise näyttääksesi valikon

Määritelmä

Todennäköisyys on mitta sille, kuinka todennäköistä on, että jokin tapahtuma toteutuu. Se kuvaa epävarmuutta ja on olennainen käsite esimerkiksi data-analytiikassa, tilastotieteessä ja koneoppimisessa, auttaen analysoimaan ilmiöitä, tekemään ennusteita ja arvioimaan riskejä.

Todennäköisyyden perusmääritelmä

Tapahtuman $A$ todennäköisyys määritellään seuraavasti:

P(A) = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}}

Tämä kaava kertoo, kuinka monella tavalla haluttu tapahtuma voi toteutua verrattuna kaikkiin mahdollisiin lopputuloksiin. Todennäköisyys on aina välillä 0 (mahdoton) ja 1 (varma).

Otosavaruuden ja tapahtumien ymmärtäminen

Otosavaruus – kaikki mahdolliset kokeen lopputulokset;
Tapahtuma – tietty lopputulos tai joukko lopputuloksia, joista olemme kiinnostuneita.

Esimerkki kolikon heitosta:

Otosavaruus = {Heads, Tails} ;
Tapahtuma A = {Heads} .

Tällöin:

P(A) = \frac{P(\text{Heads})}{P(\text{Heads}) + P(\text{Tails})} = \frac{0.5}{0.5+0.5} = 0.5

Union sääntö: "A TAI B tapahtuu"

Määritelmä: Kahden tapahtuman $A \cup B$ unioni edustaa kaikkia tuloksia, joissa joko $A$ tapahtuu, $B$ tapahtuu tai molemmat tapahtuvat.

Kaava:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Leikkaus vähennetään, jotta samoja tuloksia ei lasketa kahteen kertaan.

Union esimerkki: Nopan heitto

Heitetään kuusisivuista noppaa:

Tapahtuma A = {1, 2, 3} (pieni silmäluku)
Tapahtuma B = {2, 4, 6} (parillinen silmäluku)

Unioni ja leikkaus:

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$
$A \cap B = \{2\}$

Laskut vaiheittain:

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(A \cap B) = \frac{1}{6}

Sovelletaan union kaavaa:

P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Leikkaussääntö: "A JA B tapahtuvat molemmat"

Määritelmä: Kahden tapahtuman $A \cap B$ leikkaus edustaa kaikkia tuloksia, joissa sekä $A$ että $B$ tapahtuvat samanaikaisesti.

Yleinen kaava

Kaikissa tapauksissa:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

missä $P(B|A)$ on ehdollinen todennäköisyys, että $B$ tapahtuu, kun $A$ on jo tapahtunut.

Tapaus 1: Riippumattomat tapahtumat

Jos tapahtumat eivät vaikuta toisiinsa (esim. kolikon heitto ja nopan heitto):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Esimerkki:

$P(\text{Kruuna kolikossa}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$2$}}$ ;
$P(\text{6 nopassa}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$6$}}$ .

Tällöin:

P(A \cap B) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}

Tapaus 2: Riippuvat tapahtumat

Jos ensimmäisen tapahtuman tulos vaikuttaa toiseen (esim. korttien nostaminen ilman palautusta):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

Esimerkki:

$P(\text{ensimmäinen kortti on ässä}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$4$}}{52}$ ;
$P(\text{toinen kortti on ässä | ensimmäinen kortti oli ässä}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$3$}}{\raisebox{-1pt}{$51$}}$ .

Tällöin:

P(A \cap B) = \tfrac{4}{52} \times \tfrac{3}{51} = \tfrac{1}{221}

Oliko kaikki selvää?

Kiitos palautteestasi!

Osio 5. Luku 1

Kysy tekoälyä

Kysy mitä tahansa tai kokeile jotakin ehdotetuista kysymyksistä aloittaaksesi keskustelumme

Todennäköisyyden Perusteiden Ymmärtäminen

Määritelmä

Todennäköisyyden perusmääritelmä

Tapahtuman $A$ todennäköisyys määritellään seuraavasti:

P(A) = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}}

Tämä kaava kertoo, kuinka monella tavalla haluttu tapahtuma voi toteutua verrattuna kaikkiin mahdollisiin lopputuloksiin. Todennäköisyys on aina välillä 0 (mahdoton) ja 1 (varma).

Otosavaruuden ja tapahtumien ymmärtäminen

Otosavaruus – kaikki mahdolliset kokeen lopputulokset;
Tapahtuma – tietty lopputulos tai joukko lopputuloksia, joista olemme kiinnostuneita.

Esimerkki kolikon heitosta:

Otosavaruus = {Heads, Tails} ;
Tapahtuma A = {Heads} .

Tällöin:

P(A) = \frac{P(\text{Heads})}{P(\text{Heads}) + P(\text{Tails})} = \frac{0.5}{0.5+0.5} = 0.5

Union sääntö: "A TAI B tapahtuu"

Määritelmä: Kahden tapahtuman $A \cup B$ unioni edustaa kaikkia tuloksia, joissa joko $A$ tapahtuu, $B$ tapahtuu tai molemmat tapahtuvat.

Kaava:

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Leikkaus vähennetään, jotta samoja tuloksia ei lasketa kahteen kertaan.

Union esimerkki: Nopan heitto

Heitetään kuusisivuista noppaa:

Tapahtuma A = {1, 2, 3} (pieni silmäluku)
Tapahtuma B = {2, 4, 6} (parillinen silmäluku)

Unioni ja leikkaus:

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$
$A \cap B = \{2\}$

Laskut vaiheittain:

P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \\[6pt] P(A \cap B) = \frac{1}{6}

Sovelletaan union kaavaa:

P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

Leikkaussääntö: "A JA B tapahtuvat molemmat"

Määritelmä: Kahden tapahtuman $A \cap B$ leikkaus edustaa kaikkia tuloksia, joissa sekä $A$ että $B$ tapahtuvat samanaikaisesti.

Yleinen kaava

Kaikissa tapauksissa:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

missä $P(B|A)$ on ehdollinen todennäköisyys, että $B$ tapahtuu, kun $A$ on jo tapahtunut.

Tapaus 1: Riippumattomat tapahtumat

Jos tapahtumat eivät vaikuta toisiinsa (esim. kolikon heitto ja nopan heitto):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

Esimerkki:

$P(\text{Kruuna kolikossa}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$2$}}$ ;
$P(\text{6 nopassa}) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$6$}}$ .

Tällöin:

P(A \cap B) = \tfrac{1}{2} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{12}

Tapaus 2: Riippuvat tapahtumat

Jos ensimmäisen tapahtuman tulos vaikuttaa toiseen (esim. korttien nostaminen ilman palautusta):

P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)

Esimerkki:

$P(\text{ensimmäinen kortti on ässä}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$4$}}{52}$ ;
$P(\text{toinen kortti on ässä | ensimmäinen kortti oli ässä}) = \tfrac{\raisebox{1pt}{$3$}}{\raisebox{-1pt}{$51$}}$ .

Tällöin:

P(A \cap B) = \tfrac{4}{52} \times \tfrac{3}{51} = \tfrac{1}{221}

Oliko kaikki selvää?

Kiitos palautteestasi!

Osio 5. Luku 1