Ehdollinen todennäköisyys

Ehdollinen todennäköisyys mittaa tapahtuman todennäköisyyttä, kun tiedetään, että jokin toinen tapahtuma on jo tapahtunut.

Kaava:

missä:

• $P(A \mid B)$ tarkoittaa "A:n todennäköisyys, kun B on tapahtunut";
• $P(A \cap B)$ on todennäköisyys, että sekä A että B tapahtuvat;
• $P(B)$ on todennäköisyys, että B tapahtuu (oltava > 0).

Esimerkki 1: Ehdollinen todennäköisyys — Sää ja liikenne

Oletetaan:

• Tapahtuma A: "Olen myöhässä töistä";
• Tapahtuma B: "Sataa".

Annetaan:

• $P(A \cap B) = 0.10$ (10 % todennäköisyys, että sataa JA olen myöhässä);
• $P(B) = 0.20$ (20 % todennäköisyys, että sataa minä tahansa päivänä).

Tällöin:

Tulkinta:
Jos sataa, on 50 % todennäköisyys, että olen myöhässä töistä.

Bayesin kaava

Bayesin kaava auttaa laskemaan $P(A \mid B)$ tilanteissa, joissa sitä on vaikea mitata suoraan, yhdistämällä se $P(B \mid A)$:han.

Kaava:

Vaiheittainen erittely

Vaihe 1: $P(A \mid B)$ ymmärtäminen
Tämä luetaan "A:n todennäköisyys ehdolla B".

Esimerkki: Jos A = "sairastaa tautia" ja B = "testaa positiivisesti", niin $P(A \mid B)$ kysyy:
Kun testi on positiivinen, kuinka todennäköistä on, että henkilöllä todella on tauti?

Vaihe 2: Osoittaja = $P(B \mid A) \cdot P(A)$

• $P(B \mid A)$ = todennäköisyys saada positiivinen testitulos, jos henkilöllä on tauti (testin herkkyys);
• $P(A)$ = A:n aiempi todennäköisyys (taudin esiintyvyys).

Vaihe 3: Nimittäjä = $P(B)$
Tämä on B:n (positiivisen testituloksen) kokonais todennäköisyys, joka sisältää sekä oikeat positiiviset että väärät positiiviset.

Laajennettuna:

Missä:

• $P(B \mid \neg A)$ = väärän positiivisen todennäköisyys;
• $P(\neg A)$ = todennäköisyys, ettei henkilöllä ole tautia.

Bayes'n lause — Lääketieteellinen testi

Oletetaan:

• Tapahtuma A: "Sairauden esiintyminen";
• Tapahtuma B: "Positiivinen testitulos".

Annettu:

• Sairauden esiintyvyys: $P(A) = 0.01$;
• Sensitiivisyys: $P(B \mid A) = 0.99$;
• Väärän positiivisen tuloksen todennäköisyys: $P(B \mid \neg A) = 0.05$.

Vaihe 1: Laske positiivisen testituloksen kokonais­todennäköisyys

Vaihe 2: Käytä Bayes'n lausetta

Tulkinta:
Vaikka testitulos olisi positiivinen, on vain noin 16,7 %:n todennäköisyys, että henkilöllä todella on sairaus — koska sairaus on harvinainen ja vääriä positiivisia esiintyy.

Keskeiset huomiot

• Ehdollinen todennäköisyys määrittää A:n todennäköisyyden, kun tiedetään, että B on tapahtunut;
• Bayesin kaava kääntää ehdolliset todennäköisyydet ja mahdollistaa uskomusten päivittämisen, kun suora mittaus on vaikeaa;
• Molemmat käsitteet ovat olennaisia data-analytiikassa, koneoppimisessa, lääketieteellisessä testauksessa ja päätöksenteossa.