Algebralliset Funktiot

Tyypit ja ominaisuudet

1. Identiteettifunktio

Muoto: $f(x) = x$

Ominaisuudet:

• Kulkee origon $(0, 0)$ kautta;
• Suora, jonka kulmakerroin $m = 1$;
• Jokainen syöte kuvaa itseensä;
• Ei maksimia tai minimiä;
• Määrittelyjoukko: $(-\infty, \infty)$;
• Arvojoukko: $(-\infty, \infty)$.

Käyttötarkoitus: muuttumattoman datan esittäminen tai vertailukohtana muunnoksissa.

2. Vakiofunktio

Muoto: $f(x) = c$

Ominaisuudet:

• Vaakasuora suora kohdassa $y = c$;
• Tuotos pysyy vakiona kaikilla syötteillä;
• Kulmakerroin: $m = 0$;
• Ei maksimia eikä minimiä;
• Määrittelyjoukko: $(-\infty, \infty)$;
• Arvojoukko: ${c}$.

Käyttötarkoitus: kiinteiden suureiden, kuten perusarvojen tai tasamaksujen, esittäminen.

3. Lineaarinen funktio

Muoto: $f(x) = mx + b$

Ominaisuudet:

• Suora, jonka kulmakerroin on $m$;
• Nouseva, jos $m > 0$, laskeva, jos $m < 0$;
• X-akselin leikkauspiste: $x = -\frac{b}{m}$;
• Y-akselin leikkauspiste: $y = b$;
• Ei maksimia eikä minimiä;
• Määrittelyjoukko: $(-\infty, \infty)$;
• Arvojoukko: $(-\infty, \infty)$.

Käyttötarkoitus: jatkuvien tulosten, kuten liikevaihdon tai kustannusten, ennustaminen.

4. Polynomifunktio (esimerkki: toisen asteen)

Muoto: $f(x) = ax^2 + bx + c$

Ominaisuudet:

• Paraabelikäyrä (U-muotoinen, jos $a > 0$; käänteinen U, jos $a < 0$);
• Huippu kohdassa $x = -\frac{b}{2a}$;
• X-akselin leikkauspisteet (nollakohdat): $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$;
• Y-akselin leikkauspiste: $f(0) = c$;
• Määrittelyjoukko: $(-\infty, \infty)$;
• Arvojoukko:
• Jos $a > 0$, niin $[y_{vertex}; \infty)$;
  • Jos $a < 0$, niin $(-\infty; y_{vertex}]$.

Käyttötarkoitus: käyrän sovitus, regressiomallit ja epälineaaristen trendien kuvaaminen.

5. Rationaalifunktio

Muoto: $f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$

Esimerkki: $f(x) = \frac{1}{x - 1}$

Käyttäytyminen:

• Pystysuora asymptootti kohdassa $x = 1$;
• Vaakasuora asymptootti kohdassa $y = 0$;
• Määrittelemätön kohdassa $x = 1$;
• Jyrkkä kasvu ja lasku asymptoottia lähestyttäessä;
• Määrittelyjoukko: $(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$;
• Arvojoukko: $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

Käyttötarkoitus: rajoitettujen järjestelmien, kuten muutosnopeuksien tai resurssien käytön mallintaminen.