Transsendenttifunktiot

Tyypit ja ominaisuudet

1. Eksponenttifunktio

Muoto:

• $a$: amplitudi, skaalaa käyrää pystysuunnassa;
• $b$: kasvu- tai vähenemisnopeus, määrittää kuinka nopeasti funktio kasvaa tai pienenee;
• $c$: vaakasuuntainen siirto, siirtää käyrää vasemmalle tai oikealle;
• $d$: pystysuuntainen siirto, siirtää kuvaajaa ylös tai alas.

Ominaisuudet:

• Kasvaa nopeasti, kun $b > 0$;
• Pienenee kohti nollaa, kun $b < 0$;
• Aina positiivinen kaikilla $x$;
• Kulkee pisteen $(c, a + d)$ kautta;
• Määrittelyjoukko: $(-\infty, \infty)$;
• Arvojoukko: $(d, \infty)$ jos $a > 0$, tai $(-\infty, d)$ jos $a < 0$.

Käyttökohde: populaation kasvu, radioaktiivinen hajoaminen ja korkoa korolle -laskenta.

2. Logaritmifunktio

Muoto:

• $a$: amplitudi, venyttää tai puristaa käyrää pystysuunnassa;
• $b$: kanta, määrittää kasvun tai vähenemisen nopeuden;
• $c$: vaakasuuntainen siirto, siirtää kuvaajaa vasemmalle tai oikealle;
• $d$: pystysuuntainen siirto, siirtää kuvaajaa ylös tai alas.

Ominaisuudet:

• Määritelty vain, kun $x > c$;
• Kasvaa hitaasti $x$:n kasvaessa;
• Lähestyy miinusääretöntä lähellä $x = c$;
• Kulkee pisteen $(c + 1, d)$ kautta;
• Määrittelyjoukko: $(c, \infty)$;
• Arvojoukko: $(-\infty, \infty)$.

Käyttökohde: mittaaminen, jossa muutos on kertaluonteista, kuten pH, äänenvoimakkuus tai maanjäristyksen voimakkuus.

3. Trigonometrinen funktio

Muoto:

missä $\text{trig}$ voi olla $\sin$, $\cos$ tai $\tan$.

• $a$: amplitudi, määrittää aallon korkeuden;
• $b$: jaksot, määrittää kuinka monta värähtelyä esiintyy yhdessä jaksossa;
• $c$: vaakasiirto, siirtää aaltoa vasemmalle tai oikealle;
• $d$: pystysiirto, siirtää kuvaajaa ylös tai alas.

Käyttäytyminen:

• Sini ja kosini: värähtelevät jaksollisesti välillä $-a + d$ ja $a + d$;
• Tangentti: toistuu joka $\pi$ ja sillä on pystysuorat asymptootit kohdissa $x = \frac{\raisebox{1pt}{$\pi$}}{\raisebox{-1pt}{$2b$}} + n\pi/b$;
• Kaikki ovat jaksollisia ja jatkuvia määrittelyjoukossaan;
• Määrittelyjoukko ja arvojoukko:
  • $\sin(x), \cos(x)$: määrittelyjoukko $(-\infty, \infty)$, arvojoukko $[d - a, d + a]$;
  • $\tan(x)$: määrittelyjoukko $\mathbb{R} \setminus \left\{ {\frac{\raisebox{1pt}{$\pi$}}{\raisebox{-1pt}{$2b$}} + n\pi/b} \right\}$, arvojoukko $(-\infty, \infty)$.

Käyttökohteet: syklien ja värähtelyjen mallintaminen signaalinkäsittelyssä, fysiikassa ja tekniikassa.