Oppiskele Matriisimuunnosten Esittely | Lineaarialgebran Perusteet

Matriisiyhtälöt

Matriisiyhtälö voidaan esittää seuraavasti:

A \vec{x} = \vec{b}

Missä:

$A$ on kerroinmatriisi;
$\vec{x}$ on muuttujien vektori;
$\vec{b}$ on vakioiden vektori.

Lineaaristen yhtälöiden matriisiesitys

Tarkastellaan lineaarista yhtälöjärjestelmää:

2x + y = 5 \\ x - y = 1

Tämä voidaan kirjoittaa uudelleen muodossa:

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Matriisikertolaskun erittely

Matriisin ja vektorin kertolasku esittää lineaarisen yhdistelmän:

\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Esimerkkijärjestelmä matriisimuodossa

Järjestelmä:

3x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Voidaan esittää muodossa:

\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Matriisit muunnoksina

Matriisi muuntaa vektoreita avaruudessa.

Esimerkiksi:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Tämä matriisi määrittää, miten akselit muuttuvat kertolaskussa.

Skaalaus matriiseilla

Vektorin skaalaamiseen käytetään:

S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Missä:

$s_x$ – skaalauskerroin x-suunnassa;
$s_y$ – skaalauskerroin y-suunnassa.

Esimerkki: pisteen (2, 3) skaalaus kertoimella 2:

S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Tällöin:

S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Kiertäminen matriiseilla

Vektorin kiertäminen kulmalla $\theta$ origon ympäri:

R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Esimerkki: kierrä (2, 3) 90°:

R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Tällöin:

R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Peilaus x-akselin suhteen

Peilausmatriisi:

M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

Kun $\vec{v} = (2, 3)$ :

M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Leikkausmuunnos (x-suunnan leikkaus)

Leikkaus siirtää toista akselia toisen perusteella.

Leikkaus x-suunnassa:

M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Jos $k = 1.5$ ja $\vec{v} = (2, 3)$ :

M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Identiteettimuunnos

Identiteettimatriisi ei tee muutosta:

I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Mille tahansa vektorille $\vec{v}$ :

I \vec{v} = \vec{v}

Mikä on tämän yhtälöryhmän matriisimuoto?

2x + y = 5 \\ x - y = 1

Select the correct answer

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

Oliko kaikki selvää?

Kiitos palautteestasi!

Osio 4. Luku 5

Kysy tekoälyä

Kysy mitä tahansa tai kokeile jotakin ehdotetuista kysymyksistä aloittaaksesi keskustelumme

Suggested prompts:

Can you explain how to solve a matrix equation for the variables?

What are some real-world applications of matrices and matrix transformations?

Can you show more examples of matrix transformations like rotation or scaling?

Pyyhkäise näyttääksesi valikon

Matriisiyhtälöt

Matriisiyhtälö voidaan esittää seuraavasti:

A \vec{x} = \vec{b}

Missä:

$A$ on kerroinmatriisi;
$\vec{x}$ on muuttujien vektori;
$\vec{b}$ on vakioiden vektori.

Lineaaristen yhtälöiden matriisiesitys

Tarkastellaan lineaarista yhtälöjärjestelmää:

2x + y = 5 \\ x - y = 1

Tämä voidaan kirjoittaa uudelleen muodossa:

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Matriisikertolaskun erittely

Matriisin ja vektorin kertolasku esittää lineaarisen yhdistelmän:

\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Esimerkkijärjestelmä matriisimuodossa

Järjestelmä:

3x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Voidaan esittää muodossa:

\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Matriisit muunnoksina

Matriisi muuntaa vektoreita avaruudessa.

Esimerkiksi:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Tämä matriisi määrittää, miten akselit muuttuvat kertolaskussa.

Skaalaus matriiseilla

Vektorin skaalaamiseen käytetään:

S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Missä:

$s_x$ – skaalauskerroin x-suunnassa;
$s_y$ – skaalauskerroin y-suunnassa.

Esimerkki: pisteen (2, 3) skaalaus kertoimella 2:

S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Tällöin:

S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Kiertäminen matriiseilla

Vektorin kiertäminen kulmalla $\theta$ origon ympäri:

R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Esimerkki: kierrä (2, 3) 90°:

R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Tällöin:

R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Peilaus x-akselin suhteen

Peilausmatriisi:

M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

Kun $\vec{v} = (2, 3)$ :

M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Leikkausmuunnos (x-suunnan leikkaus)

Leikkaus siirtää toista akselia toisen perusteella.

Leikkaus x-suunnassa:

M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Jos $k = 1.5$ ja $\vec{v} = (2, 3)$ :

M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Identiteettimuunnos

Identiteettimatriisi ei tee muutosta:

I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Mille tahansa vektorille $\vec{v}$ :

I \vec{v} = \vec{v}

Mikä on tämän yhtälöryhmän matriisimuoto?

2x + y = 5 \\ x - y = 1

Select the correct answer

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}

Oliko kaikki selvää?

Kiitos palautteestasi!

Osio 4. Luku 5