Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Oppiskele Matriisimuunnosten Esittely | Lineaarialgebran Perusteet
Matematiikka Data-analytiikkaan

bookMatriisimuunnosten Esittely

Matriisiyhtälöt

Matriisiyhtälö voidaan esittää seuraavasti:

Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}

Missä:

  • AA on kerroinmatriisi;
  • x⃗\vec{x} on muuttujien vektori;
  • b⃗\vec{b} on vakioiden vektori.

Lineaaristen yhtälöiden matriisiesitys

Tarkastellaan lineaarista yhtälöjärjestelmää:

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Tämä voidaan kirjoittaa uudelleen muodossa:

[211−1][xy]=[51]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Matriisikertolaskun erittely

Matriisin ja vektorin kertolasku esittää lineaarisen yhdistelmän:

[abcd][xy]=[ax+bycx+dy]=x[ac]+y[bd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Esimerkkijärjestelmä matriisimuodossa

Järjestelmä:

3x+2y=74x−y=53x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Voidaan esittää muodossa:

[324−1][xy]=[75]\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Matriisit muunnoksina

Matriisi muuntaa vektoreita avaruudessa.

Esimerkiksi:

A=[abcd],  v1⃗=[11],  v2⃗=[112]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Tämä matriisi määrittää, miten akselit muuttuvat kertolaskussa.

Skaalaus matriiseilla

Vektorin skaalaamiseen käytetään:

S=[sx00sy]S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Missä:

  • sxs_x – skaalauskerroin x-suunnassa;
  • sys_y – skaalauskerroin y-suunnassa.

Esimerkki: pisteen (2, 3) skaalaus kertoimella 2:

S=[2002],v⃗=[23]S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Tällöin:

Sv⃗=[46]S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Kiertäminen matriiseilla

Vektorin kiertäminen kulmalla θ\theta origon ympäri:

R=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Esimerkki: kierrä (2, 3) 90°:

R=[cos⁡90º−sin⁡90ºsin⁡90ºcos⁡90º]=[0−110],v⃗=[23]R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Tällöin:

Rv⃗=[−32]R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Peilaus x-akselin suhteen

Peilausmatriisi:

M=[100−1],M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

Kun v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[2−3]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Leikkausmuunnos (x-suunnan leikkaus)

Leikkaus siirtää toista akselia toisen perusteella.

Leikkaus x-suunnassa:

M=[1k01]M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Jos k=1.5k = 1.5 ja v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[6.53]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Identiteettimuunnos

Identiteettimatriisi ei tee muutosta:

I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Mille tahansa vektorille v⃗\vec{v}:

Iv⃗=v⃗I \vec{v} = \vec{v}
question mark

Mikä on tämän yhtälöryhmän matriisimuoto?

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Select the correct answer

Oliko kaikki selvää?

Miten voimme parantaa sitä?

Kiitos palautteestasi!

Osio 4. Luku 5

Kysy tekoälyä

expand

Kysy tekoälyä

ChatGPT

Kysy mitä tahansa tai kokeile jotakin ehdotetuista kysymyksistä aloittaaksesi keskustelumme

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

bookMatriisimuunnosten Esittely

Pyyhkäise näyttääksesi valikon

Matriisiyhtälöt

Matriisiyhtälö voidaan esittää seuraavasti:

Ax⃗=b⃗A \vec{x} = \vec{b}

Missä:

  • AA on kerroinmatriisi;
  • x⃗\vec{x} on muuttujien vektori;
  • b⃗\vec{b} on vakioiden vektori.

Lineaaristen yhtälöiden matriisiesitys

Tarkastellaan lineaarista yhtälöjärjestelmää:

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Tämä voidaan kirjoittaa uudelleen muodossa:

[211−1][xy]=[51]\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix}

Matriisikertolaskun erittely

Matriisin ja vektorin kertolasku esittää lineaarisen yhdistelmän:

[abcd][xy]=[ax+bycx+dy]=x[ac]+y[bd]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}

Esimerkkijärjestelmä matriisimuodossa

Järjestelmä:

3x+2y=74x−y=53x + 2y = 7 \\ 4x - y = 5

Voidaan esittää muodossa:

[324−1][xy]=[75]\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 5 \end{bmatrix}

Matriisit muunnoksina

Matriisi muuntaa vektoreita avaruudessa.

Esimerkiksi:

A=[abcd],  v1⃗=[11],  v2⃗=[112]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\ \ \vec{v_1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix},\ \ \vec{v_2} = \begin{bmatrix}1 \\ \frac{1}{2}\end{bmatrix}

Tämä matriisi määrittää, miten akselit muuttuvat kertolaskussa.

Skaalaus matriiseilla

Vektorin skaalaamiseen käytetään:

S=[sx00sy]S = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix}

Missä:

  • sxs_x – skaalauskerroin x-suunnassa;
  • sys_y – skaalauskerroin y-suunnassa.

Esimerkki: pisteen (2, 3) skaalaus kertoimella 2:

S=[2002],v⃗=[23]S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Tällöin:

Sv⃗=[46]S \vec{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \end{bmatrix}

Kiertäminen matriiseilla

Vektorin kiertäminen kulmalla θ\theta origon ympäri:

R=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]R = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

Esimerkki: kierrä (2, 3) 90°:

R=[cos⁡90º−sin⁡90ºsin⁡90ºcos⁡90º]=[0−110],v⃗=[23]R = \begin{bmatrix} \cos90º & -\sin90º \\ \sin90º & \cos90º \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Tällöin:

Rv⃗=[−32]R \vec{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Peilaus x-akselin suhteen

Peilausmatriisi:

M=[100−1],M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix},

Kun v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[2−3]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}

Leikkausmuunnos (x-suunnan leikkaus)

Leikkaus siirtää toista akselia toisen perusteella.

Leikkaus x-suunnassa:

M=[1k01]M = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Jos k=1.5k = 1.5 ja v⃗=(2,3)\vec{v} = (2, 3):

Mv⃗=[6.53]M \vec{v} = \begin{bmatrix} 6.5 \\ 3 \end{bmatrix}

Identiteettimuunnos

Identiteettimatriisi ei tee muutosta:

I=[1001]I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Mille tahansa vektorille v⃗\vec{v}:

Iv⃗=v⃗I \vec{v} = \vec{v}
question mark

Mikä on tämän yhtälöryhmän matriisimuoto?

2x+y=5x−y=12x + y = 5 \\ x - y = 1

Select the correct answer

Oliko kaikki selvää?

Miten voimme parantaa sitä?

Kiitos palautteestasi!

Osio 4. Luku 5
some-alt