Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Oppiskele Johdanto Ominaisvektoreihin ja Ominaisarvoihin | Lineaarialgebran Perusteet
Matematiikka Data-analytiikalle

Johdanto Ominaisvektoreihin ja Ominaisarvoihin

Pyyhkäise näyttääksesi valikon

Note
Määritelmä

Ominaisarvot ja ominaisvektorit kuvaavat, miten matriisi muuntaa vektoreita avaruudessa. Ominaisvektori on nollasta poikkeava vektori, jonka suunta ei muutu, kun sitä kerrotaan matriisilla, ja vastaava ominaisarvo ilmaisee, kuinka paljon vektoria venytetään tai supistetaan.

Mitä ovat ominaisvektorit ja ominaisarvot?

Ominaisvektori on nollasta poikkeava vektori, jonka vain pituus muuttuu, kun siihen sovelletaan matriisia. Vastaava skalaarinen arvo, joka kuvaa tätä muutosta, on ominaisarvo.

Av⃗=λv⃗A\vec{v} = \lambda\vec{v}

Missä:

  • AA on neliömatriisi;
  • λ\lambda on ominaisarvo;
  • v⃗\vec{v} on ominaisvektori.

Esimerkkimatriisi ja asetelma

Oletetaan:

A=[4123]A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}

Halutaan löytää sellaiset λ\lambda ja vektorit v⃗\vec{v}, että:

Av⃗=λv⃗A \vec{v} = \lambda \vec{v}

Karakteristinen yhtälö

Etsi λ\lambda ratkaisemalla karakteristinen yhtälö:

det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0

Sijoita:

det⁡[4−λ123−λ]=0\det \begin{bmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{bmatrix} = 0

Laske determinantti:

(4−λ)(3−λ)−2=0(4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = 0

Ratkaise:

λ2−7λ+10=0λ=5,  λ=2\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \\ \lambda = 5, \; \lambda = 2

Ominaisvektorien etsiminen

Ratkaise nyt jokaiselle λ\lambda:lle.

Kun λ=5\lambda = 5:

Vähennyslasku:

(A−5I)v⃗=0(A - 5I)\vec{v} = 0 [−112−2]v⃗=0\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \vec{v} = 0

Tämä antaa yhtälön:

−v1+v2=0-v_1 + v_2 = 0

Ratkaise:

v1=v2v_1 = v_2

Siis:

v⃗=[11]\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

Kun λ=2\lambda = 2:

Vähennyslasku:

(A−2I)v⃗=0(A - 2I)\vec{v} = 0 [2121]v⃗=0\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \vec{v} = 0

Tämä antaa yhtälön:

2v1+v2=02v_1 + v_2 = 0

Ratkaise:

v1=−12v2v_1 = -\tfrac{1}{2} v_2

Siis:

v⃗=[−12]\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}

Vahvista ominaisparin oikeellisuus

Kun sinulla on ominaisarvo λ\lambda ja ominaisvektori v⃗\vec{v}, varmista että:

Av⃗=λv⃗A \vec{v} = \lambda \vec{v}

Esimerkki:

A[11]=[55]=5[11]A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 5 \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}
Note
Huomio

Ominaisvektorit eivät ole yksikäsitteisiä.
Jos v⃗\vec{v} on ominaisvektori, niin myös mikä tahansa skalaarilla kerrottu cv⃗c \vec{v}, missä c≠0c \neq 0, on ominaisvektori.

Esimerkki:

[22]\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}

on myös ominaisvektori, kun λ=5\lambda = 5.

Diagonalisointi (Edistynyt)

Jos matriisilla AA on nn lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria, se voidaan diagonalisoida:

A=PDP−1A = PDP^{-1}

Missä:

  • PP on matriisi, jonka sarakkeina ovat ominaisvektorit;
  • DD on ominaisarvojen muodostama diagonaalimatriisi;
  • P−1P^{-1} on PP:n käänteismatriisi.

Diagonalisoinnin voi varmistaa tarkistamalla, että A=PDP−1A = PDP^{-1}.
Tämä on hyödyllistä laskettaessa matriisin AA potensseja:

Esimerkki

Olkoon:

A=[3102]A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}

Etsi ominaisarvot:

det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0

Ratkaise:

λ=3,  λ=2\lambda = 3, \; \lambda = 2

Etsi ominaisvektorit:

Kun λ=3\lambda = 3:

v⃗=[10]\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}

Kun λ=2\lambda = 2:

v⃗=[−11]\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}

Muodosta P,DP, D ja P−1P^{-1}:

P=[1−101],D=[3002],P−1=[1101]P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Laske:

PDP−1=[3102]=APDP^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = A

Vahvistettu.

Miksi tämä on tärkeää:

Matriisin AA potenssien, kuten AkA^k, laskemiseen. Koska DD on diagonaalinen:

Ak=PDkP−1A^k = P D^k P^{-1}

Tämä nopeuttaa matriisin potenssien laskemista huomattavasti.

Tärkeitä huomioita

  • Ominaisarvot ja ominaisvektorit ovat suuntia, jotka säilyvät muuttumattomina muunnoksessa;
  • λ\lambda venyttää v⃗\vec{v}:tä;
  • λ=1\lambda = 1 pitää v⃗\vec{v}:n pituuden muuttumattomana.
question mark

Mihin karakteristista yhtälöä käytetään?

Valitse oikea vastaus

Oliko kaikki selvää?

Miten voimme parantaa sitä?

Kiitos palautteestasi!

Osio 4. Luku 11

Kysy tekoälyä

expand

Kysy tekoälyä

ChatGPT

Kysy mitä tahansa tai kokeile jotakin ehdotetuista kysymyksistä aloittaaksesi keskustelumme

Johdanto Ominaisvektoreihin ja Ominaisarvoihin

Note
Määritelmä

Ominaisarvot ja ominaisvektorit kuvaavat, miten matriisi muuntaa vektoreita avaruudessa. Ominaisvektori on nollasta poikkeava vektori, jonka suunta ei muutu, kun sitä kerrotaan matriisilla, ja vastaava ominaisarvo ilmaisee, kuinka paljon vektoria venytetään tai supistetaan.

Mitä ovat ominaisvektorit ja ominaisarvot?

Ominaisvektori on nollasta poikkeava vektori, jonka vain pituus muuttuu, kun siihen sovelletaan matriisia. Vastaava skalaarinen arvo, joka kuvaa tätä muutosta, on ominaisarvo.

Av⃗=λv⃗A\vec{v} = \lambda\vec{v}

Missä:

  • AA on neliömatriisi;
  • λ\lambda on ominaisarvo;
  • v⃗\vec{v} on ominaisvektori.

Esimerkkimatriisi ja asetelma

Oletetaan:

A=[4123]A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}

Halutaan löytää sellaiset λ\lambda ja vektorit v⃗\vec{v}, että:

Av⃗=λv⃗A \vec{v} = \lambda \vec{v}

Karakteristinen yhtälö

Etsi λ\lambda ratkaisemalla karakteristinen yhtälö:

det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0

Sijoita:

det⁡[4−λ123−λ]=0\det \begin{bmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{bmatrix} = 0

Laske determinantti:

(4−λ)(3−λ)−2=0(4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = 0

Ratkaise:

λ2−7λ+10=0λ=5,  λ=2\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 \\ \lambda = 5, \; \lambda = 2

Ominaisvektorien etsiminen

Ratkaise nyt jokaiselle λ\lambda:lle.

Kun λ=5\lambda = 5:

Vähennyslasku:

(A−5I)v⃗=0(A - 5I)\vec{v} = 0 [−112−2]v⃗=0\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \vec{v} = 0

Tämä antaa yhtälön:

−v1+v2=0-v_1 + v_2 = 0

Ratkaise:

v1=v2v_1 = v_2

Siis:

v⃗=[11]\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

Kun λ=2\lambda = 2:

Vähennyslasku:

(A−2I)v⃗=0(A - 2I)\vec{v} = 0 [2121]v⃗=0\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \vec{v} = 0

Tämä antaa yhtälön:

2v1+v2=02v_1 + v_2 = 0

Ratkaise:

v1=−12v2v_1 = -\tfrac{1}{2} v_2

Siis:

v⃗=[−12]\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}

Vahvista ominaisparin oikeellisuus

Kun sinulla on ominaisarvo λ\lambda ja ominaisvektori v⃗\vec{v}, varmista että:

Av⃗=λv⃗A \vec{v} = \lambda \vec{v}

Esimerkki:

A[11]=[55]=5[11]A \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 5 \end{bmatrix} = 5 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}
Note
Huomio

Ominaisvektorit eivät ole yksikäsitteisiä.
Jos v⃗\vec{v} on ominaisvektori, niin myös mikä tahansa skalaarilla kerrottu cv⃗c \vec{v}, missä c≠0c \neq 0, on ominaisvektori.

Esimerkki:

[22]\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}

on myös ominaisvektori, kun λ=5\lambda = 5.

Diagonalisointi (Edistynyt)

Jos matriisilla AA on nn lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria, se voidaan diagonalisoida:

A=PDP−1A = PDP^{-1}

Missä:

  • PP on matriisi, jonka sarakkeina ovat ominaisvektorit;
  • DD on ominaisarvojen muodostama diagonaalimatriisi;
  • P−1P^{-1} on PP:n käänteismatriisi.

Diagonalisoinnin voi varmistaa tarkistamalla, että A=PDP−1A = PDP^{-1}.
Tämä on hyödyllistä laskettaessa matriisin AA potensseja:

Esimerkki

Olkoon:

A=[3102]A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}

Etsi ominaisarvot:

det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0

Ratkaise:

λ=3,  λ=2\lambda = 3, \; \lambda = 2

Etsi ominaisvektorit:

Kun λ=3\lambda = 3:

v⃗=[10]\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}

Kun λ=2\lambda = 2:

v⃗=[−11]\vec{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}

Muodosta P,DP, D ja P−1P^{-1}:

P=[1−101],D=[3002],P−1=[1101]P = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Laske:

PDP−1=[3102]=APDP^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = A

Vahvistettu.

Miksi tämä on tärkeää:

Matriisin AA potenssien, kuten AkA^k, laskemiseen. Koska DD on diagonaalinen:

Ak=PDkP−1A^k = P D^k P^{-1}

Tämä nopeuttaa matriisin potenssien laskemista huomattavasti.

Tärkeitä huomioita

  • Ominaisarvot ja ominaisvektorit ovat suuntia, jotka säilyvät muuttumattomina muunnoksessa;
  • λ\lambda venyttää v⃗\vec{v}:tä;
  • λ=1\lambda = 1 pitää v⃗\vec{v}:n pituuden muuttumattomana.
Oliko kaikki selvää?

Miten voimme parantaa sitä?

Kiitos palautteestasi!

Osio 4. Luku 11
some-alt