Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Oppiskele Vektoreiden Esittely | Lineaarialgebran Perusteet
Matematiikka Data-analytiikkaan

bookVektoreiden Esittely

Note
Määritelmä

Vektori on matemaattinen objekti, joka kuvaa sekä suunnan että suuruuden avaruudessa. Data-analytiikassa vektoreita käytetään kuvaamaan datapisteitä, piirteitä ja mallin parametreja, kuten painoja.

Mikä on vektori?

Vektori on järjestetty lukupari, jolla on sekä suuruus että suunta.

v⃗=(x,y)\vec{v} = (x,y)

Vektorit esitetään usein nuolina origosta pisteeseen avaruudessa. Kaksi vektoria ovat yhtä suuria, jos niillä on sama suunta ja pituus, vaikka ne alkaisivat eri kohdista.

Nollavektori

Nollavektorilla ei ole pituutta eikä suuntaa. Se merkitään seuraavasti:

0⃗=(0,0)\vec{0} = (0, 0)

Vektorien yhteen- ja vähennyslasku

Yhteenlasku

Kahden vektorin yhteenlasku tapahtuu laskemalla niiden vastaavat komponentit yhteen:

a⃗+b⃗=(a1+b1,  a2+b2)\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2)

Tämän voi havainnollistaa seuraavasti:

  • Pää-häntä-menetelmä: siirrä toisen vektorin häntä toisen vektorin pään kohdalle;
  • Rinnakkaisnelikulmiomenetelmä: molemmat vektorit alkavat samasta pisteestä ja muodostavat rinnakkaisnelikulmion.

Vähennyslasku

Kun vektori vähennetään toisesta:

a⃗−b⃗=(a1−b1,  a2−b2)\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, \; a_2 - b_2)

Tulos on uusi vektori, joka osoittaa toisen vektorin päästä ensimmäisen vektorin päähän.

Skalaarilla kertominen

Vektorin kertominen luvulla (skalaarilla) venyttää tai kääntää vektorin:

k⋅a⃗=(k⋅a1,  k⋅a2)k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_1, \; k \cdot a_2)
  • Jos k>1k > 1, vektori venyy samaan suuntaan;
  • Jos 0<k<10 < k < 1, vektori lyhenee;
  • Jos k<0k < 0, vektorin suunta kääntyy;
  • Jos k=0k = 0, tuloksena on nollavektori.

Vektorin pituus (suuruus)

Vektorin pituus eli suuruus lasketaan Pythagoraan lauseella:

∣a⃗∣=a12+a22|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

Tämä antaa vektorin kärjen ja origon välisen suoran etäisyyden.

Pistetulo

Pistetulo yhdistää kaksi vektoria yhdeksi luvuksi, joka kuvaa niiden samansuuntaisuutta:

a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
  • Jos tulos on positiivinen: vektorit osoittavat samankaltaiseen suuntaan;
  • Jos tulos on nolla: vektorit ovat kohtisuorassa;
  • Jos tulos on negatiivinen: ne osoittavat vastakkaisiin suuntiin.

Esimerkki

Jos a⃗=(1,2)  ja  b⃗=(3,4) \vec{a} = (1, 2)\ \ \text{ja}\ \ \vec{b} = (3, 4), niin:

a⃗⋅b⃗=1⋅3+2⋅4=11\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 11
question mark

Jos a⃗=(1,0), b⃗=(0,1)\vec{a} = (1, 0),\ \vec{b} = (0, 1). Mikä on niiden pistetulo:

Select the correct answer

Oliko kaikki selvää?

Miten voimme parantaa sitä?

Kiitos palautteestasi!

Osio 4. Luku 1

Kysy tekoälyä

expand

Kysy tekoälyä

ChatGPT

Kysy mitä tahansa tai kokeile jotakin ehdotetuista kysymyksistä aloittaaksesi keskustelumme

Suggested prompts:

Can you explain the difference between the head-to-tail and parallelogram methods for vector addition?

How do you find the magnitude of a vector using its components?

Can you give an example of vector subtraction with numbers?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

bookVektoreiden Esittely

Pyyhkäise näyttääksesi valikon

Note
Määritelmä

Vektori on matemaattinen objekti, joka kuvaa sekä suunnan että suuruuden avaruudessa. Data-analytiikassa vektoreita käytetään kuvaamaan datapisteitä, piirteitä ja mallin parametreja, kuten painoja.

Mikä on vektori?

Vektori on järjestetty lukupari, jolla on sekä suuruus että suunta.

v⃗=(x,y)\vec{v} = (x,y)

Vektorit esitetään usein nuolina origosta pisteeseen avaruudessa. Kaksi vektoria ovat yhtä suuria, jos niillä on sama suunta ja pituus, vaikka ne alkaisivat eri kohdista.

Nollavektori

Nollavektorilla ei ole pituutta eikä suuntaa. Se merkitään seuraavasti:

0⃗=(0,0)\vec{0} = (0, 0)

Vektorien yhteen- ja vähennyslasku

Yhteenlasku

Kahden vektorin yhteenlasku tapahtuu laskemalla niiden vastaavat komponentit yhteen:

a⃗+b⃗=(a1+b1,  a2+b2)\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, \; a_2 + b_2)

Tämän voi havainnollistaa seuraavasti:

  • Pää-häntä-menetelmä: siirrä toisen vektorin häntä toisen vektorin pään kohdalle;
  • Rinnakkaisnelikulmiomenetelmä: molemmat vektorit alkavat samasta pisteestä ja muodostavat rinnakkaisnelikulmion.

Vähennyslasku

Kun vektori vähennetään toisesta:

a⃗−b⃗=(a1−b1,  a2−b2)\vec{a} - \vec{b} = (a_1 - b_1, \; a_2 - b_2)

Tulos on uusi vektori, joka osoittaa toisen vektorin päästä ensimmäisen vektorin päähän.

Skalaarilla kertominen

Vektorin kertominen luvulla (skalaarilla) venyttää tai kääntää vektorin:

k⋅a⃗=(k⋅a1,  k⋅a2)k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_1, \; k \cdot a_2)
  • Jos k>1k > 1, vektori venyy samaan suuntaan;
  • Jos 0<k<10 < k < 1, vektori lyhenee;
  • Jos k<0k < 0, vektorin suunta kääntyy;
  • Jos k=0k = 0, tuloksena on nollavektori.

Vektorin pituus (suuruus)

Vektorin pituus eli suuruus lasketaan Pythagoraan lauseella:

∣a⃗∣=a12+a22|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}

Tämä antaa vektorin kärjen ja origon välisen suoran etäisyyden.

Pistetulo

Pistetulo yhdistää kaksi vektoria yhdeksi luvuksi, joka kuvaa niiden samansuuntaisuutta:

a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2
  • Jos tulos on positiivinen: vektorit osoittavat samankaltaiseen suuntaan;
  • Jos tulos on nolla: vektorit ovat kohtisuorassa;
  • Jos tulos on negatiivinen: ne osoittavat vastakkaisiin suuntiin.

Esimerkki

Jos a⃗=(1,2)  ja  b⃗=(3,4) \vec{a} = (1, 2)\ \ \text{ja}\ \ \vec{b} = (3, 4), niin:

a⃗⋅b⃗=1⋅3+2⋅4=11\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 11
question mark

Jos a⃗=(1,0), b⃗=(0,1)\vec{a} = (1, 0),\ \vec{b} = (0, 1). Mikä on niiden pistetulo:

Select the correct answer

Oliko kaikki selvää?

Miten voimme parantaa sitä?

Kiitos palautteestasi!

Osio 4. Luku 1
some-alt