Oppiskele Matriisien Operaatiot | Lineaarialgebran Perusteet

Määritelmä

Matriisi on suorakulmainen numerosarja, joka on järjestetty riveihin ja sarakkeisiin. Sitä käytetään matemaattisten ongelmien esittämiseen ja ratkaisemiseen tehokkaasti.

Ennen kuin siirrytään lineaarisiin yhtälöihin, kuten $A\vec{x} = \vec{b}$ , on tärkeää ymmärtää, miten matriisit käyttäytyvät ja mitä operaatioita niille voidaan suorittaa.

Matriisien yhteenlasku

Kaksi matriisia voidaan laskea yhteen vain, jos niillä on sama muoto (sama määrä rivejä ja sarakkeita).

Olkoon:

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}

Tällöin:

A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}

Skalaarilla kertominen

Matriisin voi kertoa myös skalaarilla (yhdellä luvulla):

k \cdot A = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{bmatrix}

Matriisien kertolasku ja kokoyhteensopivuus

Matriisien kertolasku on rivi kertaa sarake -operaatio, ei alkioittainen lasku.

Sääntö: jos matriisi $A$ on muotoa $(m \times n)$ ja matriisi $B$ on muotoa $(n \times p)$ , niin:

Kertolasku $AB$ on sallittu;
Tuloksena on matriisi, jonka muoto on $(m \times p)$ .

Esimerkki:

Olkoon:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \ \ B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}

$A$ on $(2 \times 2)$ ja $B$ on $(2 \times 1)$ , joten $AB$ on sallittu ja tuloksena on $(2 \times 1)$ matriisi:

A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}

Matriisin transpoosi

Matriisin transpoosi vaihtaa rivit ja sarakkeet keskenään. Merkitään $A^T$ .

Olkoon:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Tällöin:

A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

Ominaisuudet:

$(A^T)^T = A$ ;
$(A + B)^T = A^T + B^T$ ;
$(AB)^T = B^T A^T$ .

Matriisin determinantti

2×2-matriisi

Annetaan:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Determinantti on:

\det(A) = ad - bc

3×3-matriisi

Annetaan:

A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

Determinantti on:

\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Tätä menetelmää kutsutaan kofaktorikehitelmäksi.

Suuremmat matriisit (4×4 ja suuremmat) voidaan laajentaa rekursiivisesti.
Determinantti on hyödyllinen, koska se osoittaa, onko matriisilla käänteismatriisi (determinantti ei ole nolla).

Matriisin käänteismatriisi

Neliömatriisin $A$ käänteismatriisi merkitään $A^{-1}$ . Se toteuttaa ehdon $A \cdot A^{-1} = I$ , missä $I$ on identiteettimatriisi.

Vain neliömatriiseilla, joiden determinantti on nolla, on käänteismatriisi.

Esimerkki:

Jos matriisi A on:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Sen käänteismatriisi $A^{-1}$ on:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Missä $\det(A) \neq 0$ .

Oliko kaikki selvää?

Kiitos palautteestasi!

Osio 4. Luku 3

Kysy tekoälyä

Kysy mitä tahansa tai kokeile jotakin ehdotetuista kysymyksistä aloittaaksesi keskustelumme

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Pyyhkäise näyttääksesi valikon

Määritelmä

Matriisi on suorakulmainen numerosarja, joka on järjestetty riveihin ja sarakkeisiin. Sitä käytetään matemaattisten ongelmien esittämiseen ja ratkaisemiseen tehokkaasti.

Ennen kuin siirrytään lineaarisiin yhtälöihin, kuten $A\vec{x} = \vec{b}$ , on tärkeää ymmärtää, miten matriisit käyttäytyvät ja mitä operaatioita niille voidaan suorittaa.

Matriisien yhteenlasku

Kaksi matriisia voidaan laskea yhteen vain, jos niillä on sama muoto (sama määrä rivejä ja sarakkeita).

Olkoon:

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}

Tällöin:

A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}

Skalaarilla kertominen

Matriisin voi kertoa myös skalaarilla (yhdellä luvulla):

k \cdot A = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{bmatrix}

Matriisien kertolasku ja kokoyhteensopivuus

Matriisien kertolasku on rivi kertaa sarake -operaatio, ei alkioittainen lasku.

Sääntö: jos matriisi $A$ on muotoa $(m \times n)$ ja matriisi $B$ on muotoa $(n \times p)$ , niin:

Kertolasku $AB$ on sallittu;
Tuloksena on matriisi, jonka muoto on $(m \times p)$ .

Esimerkki:

Olkoon:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \ \ B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}

$A$ on $(2 \times 2)$ ja $B$ on $(2 \times 1)$ , joten $AB$ on sallittu ja tuloksena on $(2 \times 1)$ matriisi:

A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}

Matriisin transpoosi

Matriisin transpoosi vaihtaa rivit ja sarakkeet keskenään. Merkitään $A^T$ .

Olkoon:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Tällöin:

A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

Ominaisuudet:

$(A^T)^T = A$ ;
$(A + B)^T = A^T + B^T$ ;
$(AB)^T = B^T A^T$ .

Matriisin determinantti

2×2-matriisi

Annetaan:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Determinantti on:

\det(A) = ad - bc

3×3-matriisi

Annetaan:

A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

Determinantti on:

\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Tätä menetelmää kutsutaan kofaktorikehitelmäksi.

Suuremmat matriisit (4×4 ja suuremmat) voidaan laajentaa rekursiivisesti.
Determinantti on hyödyllinen, koska se osoittaa, onko matriisilla käänteismatriisi (determinantti ei ole nolla).

Matriisin käänteismatriisi

Neliömatriisin $A$ käänteismatriisi merkitään $A^{-1}$ . Se toteuttaa ehdon $A \cdot A^{-1} = I$ , missä $I$ on identiteettimatriisi.

Vain neliömatriiseilla, joiden determinantti on nolla, on käänteismatriisi.

Esimerkki:

Jos matriisi A on:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Sen käänteismatriisi $A^{-1}$ on:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Missä $\det(A) \neq 0$ .

Oliko kaikki selvää?

Kiitos palautteestasi!

Osio 4. Luku 3