Oppiskele Matriisien Operaatiot | Lineaarialgebran Perusteet

Pyyhkäise näyttääksesi valikon

Määritelmä

Matriisi on suorakulmainen numerosarja, joka on järjestetty riveihin ja sarakkeisiin. Sitä käytetään matemaattisten ongelmien esittämiseen ja ratkaisemiseen tehokkaasti.

Ennen kuin siirrytään lineaarisiin yhtälöihin, kuten $A\vec{x} = \vec{b}$ , on tärkeää ymmärtää, miten matriisit käyttäytyvät ja mitä operaatioita niille voidaan suorittaa.

Matriisien yhteenlasku

Kaksi matriisia voidaan laskea yhteen vain, jos niillä on sama muoto (sama määrä rivejä ja sarakkeita).

Olkoon:

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}

Tällöin:

A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}

Skalaarilla kertominen

Matriisin voi kertoa myös skalaarilla (yhdellä luvulla):

k \cdot A = \begin{bmatrix} k a_{11} & k a_{12} \\ k a_{21} & k a_{22} \end{bmatrix}

Matriisien kertolasku ja kokoyhteensopivuus

Matriisien kertolasku on rivi kertaa sarake -operaatio, ei alkioittainen lasku.

Sääntö: jos matriisi $A$ on muotoa $(m \times n)$ ja matriisi $B$ on muotoa $(n \times p)$ , niin:

Kertolasku $AB$ on sallittu;
Tuloksena on matriisi, jonka muoto on $(m \times p)$ .

Esimerkki:

Olkoon:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \ \ B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6 \end{bmatrix}

$A$ on $(2 \times 2)$ ja $B$ on $(2 \times 1)$ , joten $AB$ on sallittu ja tuloksena on $(2 \times 1)$ matriisi:

A \cdot B = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 6 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 \\ 39 \end{bmatrix}

Matriisin transpoosi

Matriisin transpoosi vaihtaa rivit ja sarakkeet keskenään. Merkitään $A^T$ .

Olkoon:

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Tällöin:

A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}

Ominaisuudet:

$(A^T)^T = A$ ;
$(A + B)^T = A^T + B^T$ ;
$(AB)^T = B^T A^T$ .

Matriisin determinantti

2×2-matriisi

Annetaan:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Determinantti on:

\det(A) = ad - bc

3×3-matriisi

Annetaan:

A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}

Determinantti on:

\det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Tätä menetelmää kutsutaan kofaktorikehitelmäksi.

Suuremmat matriisit (4×4 ja suuremmat) voidaan laajentaa rekursiivisesti.
Determinantti on hyödyllinen, koska se osoittaa, onko matriisilla käänteismatriisi (determinantti ei ole nolla).

Matriisin käänteismatriisi

Neliömatriisin $A$ käänteismatriisi merkitään $A^{-1}$ . Se toteuttaa ehdon $A \cdot A^{-1} = I$ , missä $I$ on identiteettimatriisi.

Vain neliömatriiseilla, joiden determinantti on nolla, on käänteismatriisi.

Esimerkki:

Jos matriisi A on:

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Sen käänteismatriisi $A^{-1}$ on:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

Missä $\det(A) \neq 0$ .

Oliko kaikki selvää?

Kiitos palautteestasi!

Osio 4. Luku 3

Kysy tekoälyä

Kysy mitä tahansa tai kokeile jotakin ehdotetuista kysymyksistä aloittaaksesi keskustelumme

Osio 4. Luku 3