Oppiskele Matriisimuunnoksen Toteuttaminen Pythonilla

Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen

Määritellään yhtälöryhmä:

2x + y = 5 \\ x - y = 1

Tämä kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:


              123456789
            
import numpy as np

A = np.array([[2, 1],   # Coefficient matrix
              [1, -1]])

b = np.array([5, 1])    # Constants (RHS)

x_solution = np.linalg.solve(A, b)
print(x_solution)

Tämä etsii $x$ :n ja $y$ :n arvot, jotka toteuttavat molemmat yhtälöt.

Merkitys: Yhtälöryhmien ratkaiseminen on keskeistä data-analytiikassa – esimerkiksi lineaaristen mallien sovittamisessa ja optimointirajoitteiden ratkaisemisessa.

Lineaaristen muunnosten soveltaminen

Määritellään vektori:

v = np.array([[2], [3]])

Sitten sovelletaan kahta muunnosta:

Skaalaus

Venytetään $x$ kaksinkertaiseksi ja puristetaan $y$ puoleen:

S = np.array([[2, 0],
              [0, 0.5]])

scaled_v = S @ v

Tämä suorittaa laskennan:

S \cdot v = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1.5 \end{bmatrix}

Kierto

Kierretään vektoria $90°$ vastapäivään kiertomatriisin avulla:

theta = np.pi / 2
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
              [np.sin(theta),  np.cos(theta)]])

rotated_v = R @ v

Tulos on:

R \cdot v = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Muunnosten visualisointi

Käyttämällä matplotlib-kirjastoa piirretään jokainen vektori origosta ja merkitään niiden koordinaatit:


              1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647
            
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define original vector
v = np.array([[2], [3]])

# Scaling
S = np.array([[2, 0],
              [0, 0.5]])
scaled_v = S @ v

# Rotation
theta = np.pi / 2
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
              [np.sin(theta),  np.cos(theta)]])
rotated_v = R @ v

# Vizualization
origin = np.zeros(2)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))

# Plot original
ax.quiver(*origin, v[0], v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='blue', label='Original')

# Plot scaled
ax.quiver(*origin, scaled_v[0], scaled_v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='green', label='Scaled')

# Plot rotated
ax.quiver(*origin, rotated_v[0], rotated_v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='red', label='Rotated')

# Label vector tips
ax.text(v[0][0]+0.2, v[1][0]+0.2, "(2, 3)", color='blue')
ax.text(scaled_v[0][0]+0.2, scaled_v[1][0]+0.2, "(4, 1.5)", color='green')
ax.text(rotated_v[0][0]-0.6, rotated_v[1][0]+0.2, "(-3, 2)", color='red')

# Draw coordinate axes
ax.annotate("", xy=(5, 0), xytext=(0, 0), arrowprops=dict(arrowstyle="->", linewidth=1.5))
ax.annotate("", xy=(0, 5), xytext=(0, 0), arrowprops=dict(arrowstyle="->", linewidth=1.5))
ax.text(5.2, 0, "X", fontsize=12)
ax.text(0, 5.2, "Y", fontsize=12)

ax.set_xlim(-5, 5)
ax.set_ylim(-5, 5)
ax.set_aspect('equal')
ax.grid(True)
ax.legend()
plt.show()

Miksi tämä on tärkeää: datatieteen työnkulut sisältävät usein muunnoksia, esimerkiksi:

Pääkomponenttianalyysi – kiertää dataa;
Ominaisuuksien normalisointi – skaalaa akseleita;
Ulottuvuuden vähentäminen – projisoinnit.

Visualisoimalla vektoreita ja niiden muunnoksia näemme, kuinka matriisit kirjaimellisesti siirtävät ja muokkaavat dataa avaruudessa.

Oliko kaikki selvää?

Kiitos palautteestasi!

Osio 4. Luku 6

Kysy tekoälyä

Kysy mitä tahansa tai kokeile jotakin ehdotetuista kysymyksistä aloittaaksesi keskustelumme

Suggested prompts:

Can you explain how the solution to the system of equations is calculated?

How does the scaling and rotation transformation affect the original vector?

Can you walk me through the visualization code and what each part does?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Pyyhkäise näyttääksesi valikon