Pyyhkäise näyttääksesi valikon

Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaiseminen

Määritellään yhtälöryhmä:

2x + y = 5 \\ x - y = 1

Tämä kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:


              123456789
            
import numpy as np

A = np.array([[2, 1],   # Coefficient matrix
              [1, -1]])

b = np.array([5, 1])    # Constants (RHS)

x_solution = np.linalg.solve(A, b)
print(x_solution)

Tämä etsii $x$ :n ja $y$ :n arvot, jotka täyttävät molemmat yhtälöt.

Merkityksellisyys: yhtälöryhmien ratkaiseminen on keskeistä data-analytiikassa – aina lineaaristen mallien sovittamisesta optimointirajoitteiden ratkaisemiseen.

Lineaaristen muunnosten soveltaminen

Määritellään vektori:

v = np.array([[2], [3]])

Sitten sovelletaan kahta muunnosta:

Skaalaus

Venytetään $x$ kaksinkertaiseksi ja puristetaan $y$ puoleen:

S = np.array([[2, 0],
              [0, 0.5]])

scaled_v = S @ v

Tämä suorittaa:

S \cdot v = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1.5 \end{bmatrix}

Kierto

Kierretään vektoria $90°$ vastapäivään kiertomatriisin avulla:

theta = np.pi / 2
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
              [np.sin(theta),  np.cos(theta)]])

rotated_v = R @ v

Tulos on:

R \cdot v = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix}

Muunnosten visualisointi

Käytetään matplotlib-kirjastoa ja piirretään jokainen vektori origosta, koordinaatit merkittyinä:


              1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647
            
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Define original vector
v = np.array([[2], [3]])

# Scaling
S = np.array([[2, 0],
              [0, 0.5]])
scaled_v = S @ v

# Rotation
theta = np.pi / 2
R = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
              [np.sin(theta),  np.cos(theta)]])
rotated_v = R @ v

# Vizualization
origin = np.zeros(2)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6))

# Plot original
ax.quiver(*origin, v[0], v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='blue', label='Original')

# Plot scaled
ax.quiver(*origin, scaled_v[0], scaled_v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='green', label='Scaled')

# Plot rotated
ax.quiver(*origin, rotated_v[0], rotated_v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='red', label='Rotated')

# Label vector tips
ax.text(v[0][0]+0.2, v[1][0]+0.2, "(2, 3)", color='blue')
ax.text(scaled_v[0][0]+0.2, scaled_v[1][0]+0.2, "(4, 1.5)", color='green')
ax.text(rotated_v[0][0]-0.6, rotated_v[1][0]+0.2, "(-3, 2)", color='red')

# Draw coordinate axes
ax.annotate("", xy=(5, 0), xytext=(0, 0), arrowprops=dict(arrowstyle="->", linewidth=1.5))
ax.annotate("", xy=(0, 5), xytext=(0, 0), arrowprops=dict(arrowstyle="->", linewidth=1.5))
ax.text(5.2, 0, "X", fontsize=12)
ax.text(0, 5.2, "Y", fontsize=12)

ax.set_xlim(-5, 5)
ax.set_ylim(-5, 5)
ax.set_aspect('equal')
ax.grid(True)
ax.legend()
plt.show()

Miksi tämä on tärkeää: datatieteen työnkulut sisältävät usein muunnoksia, esimerkiksi:

Principal Component Analysis – kiertää dataa;
Ominaisuuksien normalisointi – skaalaa akseleita;
Ulottuvuuksien vähentäminen – projisoinnit.

Visualisoimalla vektoreita ja niiden muunnoksia nähdään, miten matriisit kirjaimellisesti siirtävät ja muokkaavat dataa avaruudessa.

Oliko kaikki selvää?

Kiitos palautteestasi!

Osio 4. Luku 6

Kysy tekoälyä

Kysy mitä tahansa tai kokeile jotakin ehdotetuista kysymyksistä aloittaaksesi keskustelumme

Matriisimuunnoksen Toteuttaminen Pythonilla