Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Oppiskele Osittaisderivaattojen Esittely | Matemaattinen Analyysi
Matematiikka Data-analytiikkaan

bookOsittaisderivaattojen Esittely

Note
Määritelmä

Osittaisderivaatta mittaa, miten monimuuttujainen funktio muuttuu yhden muuttujan suhteen, kun kaikki muut muuttujat pidetään vakioina. Se kuvaa muutoksen nopeutta yhdessä ulottuvuudessa monimuuttujaisessa järjestelmässä.

Mitä ovat osittaisderivaatat?

Osittaisderivaatta merkitään symbolilla ∂\partial tavallisen derivaatan dd-symbolin sijaan. Jos funktio f(x,y)f(x,y) riippuu sekä xx:stä että yy:stä, lasketaan:

∂f∂xlim⁡h→0f(x+h,y)−f(x,y)h∂f∂ylim⁡h→0f(x,y+h)−f(x,y)h\frac{\partial f}{\partial x} \lim_{h \rarr 0} \frac{f(x + h, y) - f(x,y)}{h} \\[6pt] \frac{\partial f}{\partial y} \lim_{h \rarr 0} \frac{f(x, y + h) - f(x,y)}{h}
Note
Huomio

Kun derivoidaan yhden muuttujan suhteen, kaikki muut muuttujat käsitellään vakioina.

Osittaisderivaattojen laskeminen

Tarkastellaan funktiota:

f(x,y)=x2y+3y2f(x,y) = x^2y + 3y^2

Etsitään ∂f∂x\frac{\raisebox{1pt}{$\partial f$}}{\raisebox{-1pt}{$\partial x$}}:

∂f∂x=2xy\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy
  • Derivointi muuttujan xx suhteen, pitäen yy vakiona.

Lasketaan ∂f∂y\frac{\raisebox{1pt}{$\partial f$}}{\raisebox{-1pt}{$\partial y$}}:

∂f∂y=x2+6y\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6y
  • Derivointi muuttujan yy suhteen, pitäen xx vakiona.
question mark

Tarkastellaan funktiota:

f(x,y)=4x3y+5y2f(x,y) = 4x^3y + 5y^2

Laske nyt osittaisderivaatta muuttujan yy suhteen.

Select the correct answer

Oliko kaikki selvää?

Miten voimme parantaa sitä?

Kiitos palautteestasi!

Osio 3. Luku 7

Kysy tekoälyä

expand

Kysy tekoälyä

ChatGPT

Kysy mitä tahansa tai kokeile jotakin ehdotetuista kysymyksistä aloittaaksesi keskustelumme

Suggested prompts:

Can you explain why we treat other variables as constants when taking a partial derivative?

Can you show another example with three variables?

What are some real-world applications of partial derivatives?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

bookOsittaisderivaattojen Esittely

Pyyhkäise näyttääksesi valikon

Note
Määritelmä

Osittaisderivaatta mittaa, miten monimuuttujainen funktio muuttuu yhden muuttujan suhteen, kun kaikki muut muuttujat pidetään vakioina. Se kuvaa muutoksen nopeutta yhdessä ulottuvuudessa monimuuttujaisessa järjestelmässä.

Mitä ovat osittaisderivaatat?

Osittaisderivaatta merkitään symbolilla ∂\partial tavallisen derivaatan dd-symbolin sijaan. Jos funktio f(x,y)f(x,y) riippuu sekä xx:stä että yy:stä, lasketaan:

∂f∂xlim⁡h→0f(x+h,y)−f(x,y)h∂f∂ylim⁡h→0f(x,y+h)−f(x,y)h\frac{\partial f}{\partial x} \lim_{h \rarr 0} \frac{f(x + h, y) - f(x,y)}{h} \\[6pt] \frac{\partial f}{\partial y} \lim_{h \rarr 0} \frac{f(x, y + h) - f(x,y)}{h}
Note
Huomio

Kun derivoidaan yhden muuttujan suhteen, kaikki muut muuttujat käsitellään vakioina.

Osittaisderivaattojen laskeminen

Tarkastellaan funktiota:

f(x,y)=x2y+3y2f(x,y) = x^2y + 3y^2

Etsitään ∂f∂x\frac{\raisebox{1pt}{$\partial f$}}{\raisebox{-1pt}{$\partial x$}}:

∂f∂x=2xy\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy
  • Derivointi muuttujan xx suhteen, pitäen yy vakiona.

Lasketaan ∂f∂y\frac{\raisebox{1pt}{$\partial f$}}{\raisebox{-1pt}{$\partial y$}}:

∂f∂y=x2+6y\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6y
  • Derivointi muuttujan yy suhteen, pitäen xx vakiona.
question mark

Tarkastellaan funktiota:

f(x,y)=4x3y+5y2f(x,y) = 4x^3y + 5y^2

Laske nyt osittaisderivaatta muuttujan yy suhteen.

Select the correct answer

Oliko kaikki selvää?

Miten voimme parantaa sitä?

Kiitos palautteestasi!

Osio 3. Luku 7
some-alt