Oppiskele Integraalien Perusteet | Matemaattinen Analyysi

Määritelmä

Integraatio on laskennan keskeinen käsite, joka kuvaa suureen kokonaiskertymää, kuten käyrän alapuolista pinta-alaa. Se on olennainen tieteenalalla, kuten data-analytiikassa, todennäköisyysjakaumien, kumulatiivisten arvojen ja optimoinnin laskemisessa.

Perusintegraali

Potenssifunktion perusintegraali noudattaa seuraavaa sääntöä:

\int Cx^ndx = C\left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) + C

Missä:

$C$ on vakio;
$n \neq -1$ ;
$...+C$ tarkoittaa mielivaltaista integraalivakiota.

Keskeinen ajatus: jos derivointi pienentää $x$ :n astetta, integraatio kasvattaa sitä.

Yleiset integraalisäännöt

Potenssisääntö integraatiossa

Tämä sääntö auttaa integroimaan minkä tahansa polynomilausekkeen:

\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+ C,\ n \neq -1

Esimerkiksi, jos $n = 2$ :

\int x^2dx = \frac{x^3}{3}+C

Eksponenttisääntö

Eksponenttifunktion $e^x$ integraali on ainutlaatuinen, koska se pysyy samana integroinnin jälkeen:

\int e^xdx = e^x + C

Mutta jos eksponentissa on kerroin, käytetään toista sääntöä:

\int e^{ax}dx = \frac{1}{a}e^{ax}+C,\ a \neq 0

Esimerkiksi, jos $a = 2$ :

\int e^{2x}dx = \frac{e^{2x}}{2} + C

Trigonometriset integraalit

Sini- ja kosinifunktioilla on myös selkeät integrointisäännöt:

\int sin(x)dx = -cos(x) + C \\ \int cos(x)dx = sin(x) + C

Määrätyt integraalit

Toisin kuin määräämättömät integraalit, jotka sisältävät mielivaltaisen vakion $C$ , määrätyt integraalit arvioivat funktion kahden rajan $a$ ja $b$ välillä:

\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)

Missä $F(x)$ on $f(x)$ :n alkufunktio.

Esimerkiksi, jos $f(x) = 2x$ , $a = 0$ ja $b = 2$ :

\int^2_0 2x\ dx = \left[ x^2 \right] = 4 - 0 = 4

Tämä tarkoittaa, että käyrän alle jäävä pinta-ala $y = 2x$ välillä $x=0$ ja $x=2$ on $4$ .

Oliko kaikki selvää?

Kiitos palautteestasi!

Osio 3. Luku 5

Kysy tekoälyä

Kysy mitä tahansa tai kokeile jotakin ehdotetuista kysymyksistä aloittaaksesi keskustelumme

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Pyyhkäise näyttääksesi valikon