Summary  
This chapter explains how to find antiderivatives using the power, exponential, and trigonometric integration rules and how to evaluate definite integrals to compute the area under a curve.

General domain of usage  
Scientific computing

**Integraatio** on laskennan keskeinen käsite, joka kuvaa suureen kokonaiskertymää, kuten käyrän alapuolista pinta-alaa. Se on olennainen tieteenalalla, kuten data-analytiikassa, todennäköisyysjakaumien, kumulatiivisten arvojen ja optimoinnin laskemisessa.


Määritelmä

## Perusintegraali
Potenssifunktion perusintegraali noudattaa seuraavaa sääntöä:

$$
\int Cx^ndx = C\left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) + C
$$
 
Missä:
- $$C$$ on vakio;
- $$n \neq -1$$;
- $$...+C$$ tarkoittaa mielivaltaista integraalivakiota.

**Keskeinen ajatus**: jos derivointi pienentää $$x$$:n astetta, integraatio kasvattaa sitä.


## Yleiset integraalisäännöt

### Potenssisääntö integraatiossa
Tämä sääntö auttaa integroimaan minkä tahansa polynomilausekkeen:

$$
\int x^ndx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+ C,\ n \neq -1
$$

Esimerkiksi, jos $$n = 2$$:
$$
\int x^2dx = \frac{x^3}{3}+C
$$
 


### Eksponenttisääntö
Eksponenttifunktion $$e^x$$ integraali on ainutlaatuinen, koska se pysyy samana integroinnin jälkeen:

$$
\int e^xdx = e^x + C
$$

Mutta jos eksponentissa on kerroin, käytetään toista sääntöä:

$$
\int e^{ax}dx = \frac{1}{a}e^{ax}+C,\ a \neq 0
$$

Esimerkiksi, jos $$a = 2$$:

$$
\int e^{2x}dx = \frac{e^{2x}}{2} + C
$$
 


### Trigonometriset integraalit
Sini- ja kosinifunktioilla on myös selkeät integrointisäännöt:

$$
\int sin(x)dx = -cos(x) + C \\ \int cos(x)dx = sin(x) + C
$$
 


## Määrätyt integraalit

Toisin kuin määräämättömät integraalit, jotka sisältävät mielivaltaisen vakion $$C$$, määrätyt integraalit arvioivat funktion **kahden rajan** $$a$$ ja $$b$$ välillä:

$$
\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)
$$

Missä $$F(x)$$ on $$f(x)$$:n **alkufunktio**.

Esimerkiksi, jos $$f(x) = 2x$$, $$a = 0$$ ja $$b = 2$$:

$$
\int^2_0 2x\ dx = \left[ x^2 \right] = 4 - 0 = 4
$$
 
Tämä tarkoittaa, että **käyrän alle jäävä pinta-ala** $$y = 2x$$ välillä $$x=0$$ ja $$x=2$$ on $$4$$.


Hallitse data-analytiikan kannalta olennaiset matemaattiset perusteet. Tutustu keskeisiin käsitteisiin funktioissa, analyysissä, lineaarialgebrassa, todennäköisyyslaskennassa ja ulottuvuuden vähentämisessä. Rakenna sekä teoreettista ymmärrystä että käytännön ohjelmointitaitoja vahvistaaksesi kykyäsi analysoida dataa, mallintaa monimutkaisia järjestelmiä ja soveltaa edistyneitä koneoppimismenetelmiä.

Tutustu matemaattisten funktioiden perusteisiin. Opiskele erilaisia algebrallisia ja transsendenttisia funktioita, niiden ominaisuuksia sekä niiden toteuttamista Pythonilla reaalimaailman ongelmien ratkaisemiseksi.

Hallitse joukkojen ja sarjojen käsitteet perusoperaatioista käytännön sovelluksiin. Saat käytännön kokemusta joukko-operaatioiden toteuttamisesta sekä aritmeettisten ja geometristen sarjojen käsittelystä Pythonilla.

Kehitä vankka ymmärrys rajoista, derivaatasta, integraaleista ja osittaisderivaatasta. Yhdistä teoria käytäntöön toteuttamalla nämä käsitteet Pythonilla ja soveltamalla niitä optimointiin gradienttimenetelmän avulla.

Vahvista osaamista vektoreista, matriiseista ja muunnoksista. Opiskele hajotelmamenetelmiä ja ominaisarvoanalyysiä, ja syvennä käsitteitä Python-ohjelmointitehtävien sekä käytännön data-analytiikkasovellusten avulla.

Syvenny todennäköisyysteoriaan ja tilastotieteeseen. Tarkastele ehdollista todennäköisyyttä, Bayesin kaavaa ja tilastollisia tunnuslukuja. Toteuta keskeisiä käsitteitä Pythonilla, simuloi jakaumia ja vahvista osaamistasi haasteiden ja tietovisojen avulla.

Integraalien Perusteet

Perusintegraali

Yleiset integraalisäännöt

Potenssisääntö integraatiossa

Eksponenttisääntö

Trigonometriset integraalit

Määrätyt integraalit