Notice: This page requires JavaScript to function properly.
Please enable JavaScript in your browser settings or update your browser.Oppiskele Rajoihin Tutustuminen | Matemaattinen Analyysi
Matematiikka Data-analytiikkaan

bookRajoihin Tutustuminen

Note
Määritelmä

Raja-arvo on laskennan keskeinen käsite, joka kuvaa arvoa, jota funktio lähestyy, kun sen syöte lähestyy tiettyä pistettä. Raja-arvot muodostavat derivaattojen ja integraalien määrittelyn perustan, ja ovat siten olennaisia matemaattisessa analyysissä ja koneoppimisen optimoinnissa.

Formaali määritelmä ja merkintä

Raja-arvo kuvaa arvoa, jota funktio lähestyy, kun syöte tulee mielivaltaisen lähelle tiettyä pistettä.

lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \rarr a}f(x) = L

Tämä tarkoittaa, että kun xx lähestyy mielivaltaisen lähelle pistettä aa, funktio lähestyy arvoa LL.

Note
Huomio

Funktion ei tarvitse olla määritelty kohdassa x=ax=a, jotta raja-arvo olisi olemassa.

Yksipuoliset ja kaksipuoliset raja-arvot

Raja-arvoa voidaan lähestyä kummaltakin puolelta:

  • Vasemmanpuoleinen raja-arvo: lähestytään aa:ta arvoista, jotka ovat pienempiä kuin aa:
lim⁡x→a−f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x)
  • Oikeanpuoleinen raja-arvo: lähestytään aa:ta arvoista, jotka ovat suurempia kuin aa:
lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \rarr a^+}f(x)
  • Raja-arvo on olemassa vain, jos molemmat yksipuoliset raja-arvot ovat yhtä suuret:
lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x) = \lim_{x \rarr a^+}f(x)

Kun raja-arvoa ei ole olemassa

Raja-arvoa ei ole olemassa seuraavissa tapauksissa:

  • Hyppydiskontinuitetti:
lim⁡x→a−f(x)≠lim⁡x→a+f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x) \neq \lim_{x \rarr a^+}f(x)
  • Esimerkki: porrasfunktio, jossa vasemman ja oikean puolen raja-arvot ovat eri suuret.
  • Ääretön raja-arvo:
lim⁡x→01x2=∞\lim_{x \rarr 0}\frac{1}{x^2}=\infty
  • Funktio kasvaa rajoittamattomasti.
  • Heilahtelu:
lim⁡x→0sin⁡(1x)\lim_{x \rarr 0}\sin\left(\frac{1}{x}\right)
  • Funktio vaihtelee äärettömästi asettumatta tiettyyn arvoon.

Erikoistapaus – raja-arvot äärettömyydessä

Kun xx lähestyy ääretöntä, tarkastellaan funktioiden äärikäyttäytymistä:

  • Rationaalifunktiot:
lim⁡x→∞1x=0\lim_{x \rarr \infty}\frac{1}{x}=0
  • Polynominen kasvu:
lim⁡x→∞x2x=∞\lim_{x \rarr \infty}\frac{x^2}{x}=\infty
  • Dominoivan termin sääntö:
lim⁡x→∞axmbxn={0, jos m<n,ab, jos m=n,±∞, jos m>n.\lim_{x \to \infty} \frac{a x^m}{b x^n} = \begin{cases} 0,\ \text{jos } m < n,\\ \frac{a}{b},\ \text{jos } m = n, \\ \pm \infty,\ \text{jos } m > n. \end{cases}
question mark

Mikä väite kuvaa oikein, milloin raja-arvo on olemassa?

Select the correct answer

Oliko kaikki selvää?

Miten voimme parantaa sitä?

Kiitos palautteestasi!

Osio 3. Luku 1

Kysy tekoälyä

expand

Kysy tekoälyä

ChatGPT

Kysy mitä tahansa tai kokeile jotakin ehdotetuista kysymyksistä aloittaaksesi keskustelumme

Suggested prompts:

Can you explain the difference between one-sided and two-sided limits?

What are some common techniques for evaluating limits?

Can you give examples of when a limit does not exist?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

bookRajoihin Tutustuminen

Pyyhkäise näyttääksesi valikon

Note
Määritelmä

Raja-arvo on laskennan keskeinen käsite, joka kuvaa arvoa, jota funktio lähestyy, kun sen syöte lähestyy tiettyä pistettä. Raja-arvot muodostavat derivaattojen ja integraalien määrittelyn perustan, ja ovat siten olennaisia matemaattisessa analyysissä ja koneoppimisen optimoinnissa.

Formaali määritelmä ja merkintä

Raja-arvo kuvaa arvoa, jota funktio lähestyy, kun syöte tulee mielivaltaisen lähelle tiettyä pistettä.

lim⁡x→af(x)=L\lim_{x \rarr a}f(x) = L

Tämä tarkoittaa, että kun xx lähestyy mielivaltaisen lähelle pistettä aa, funktio lähestyy arvoa LL.

Note
Huomio

Funktion ei tarvitse olla määritelty kohdassa x=ax=a, jotta raja-arvo olisi olemassa.

Yksipuoliset ja kaksipuoliset raja-arvot

Raja-arvoa voidaan lähestyä kummaltakin puolelta:

  • Vasemmanpuoleinen raja-arvo: lähestytään aa:ta arvoista, jotka ovat pienempiä kuin aa:
lim⁡x→a−f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x)
  • Oikeanpuoleinen raja-arvo: lähestytään aa:ta arvoista, jotka ovat suurempia kuin aa:
lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \rarr a^+}f(x)
  • Raja-arvo on olemassa vain, jos molemmat yksipuoliset raja-arvot ovat yhtä suuret:
lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x) = \lim_{x \rarr a^+}f(x)

Kun raja-arvoa ei ole olemassa

Raja-arvoa ei ole olemassa seuraavissa tapauksissa:

  • Hyppydiskontinuitetti:
lim⁡x→a−f(x)≠lim⁡x→a+f(x) \lim_{x \rarr a^-}f(x) \neq \lim_{x \rarr a^+}f(x)
  • Esimerkki: porrasfunktio, jossa vasemman ja oikean puolen raja-arvot ovat eri suuret.
  • Ääretön raja-arvo:
lim⁡x→01x2=∞\lim_{x \rarr 0}\frac{1}{x^2}=\infty
  • Funktio kasvaa rajoittamattomasti.
  • Heilahtelu:
lim⁡x→0sin⁡(1x)\lim_{x \rarr 0}\sin\left(\frac{1}{x}\right)
  • Funktio vaihtelee äärettömästi asettumatta tiettyyn arvoon.

Erikoistapaus – raja-arvot äärettömyydessä

Kun xx lähestyy ääretöntä, tarkastellaan funktioiden äärikäyttäytymistä:

  • Rationaalifunktiot:
lim⁡x→∞1x=0\lim_{x \rarr \infty}\frac{1}{x}=0
  • Polynominen kasvu:
lim⁡x→∞x2x=∞\lim_{x \rarr \infty}\frac{x^2}{x}=\infty
  • Dominoivan termin sääntö:
lim⁡x→∞axmbxn={0, jos m<n,ab, jos m=n,±∞, jos m>n.\lim_{x \to \infty} \frac{a x^m}{b x^n} = \begin{cases} 0,\ \text{jos } m < n,\\ \frac{a}{b},\ \text{jos } m = n, \\ \pm \infty,\ \text{jos } m > n. \end{cases}
question mark

Mikä väite kuvaa oikein, milloin raja-arvo on olemassa?

Select the correct answer

Oliko kaikki selvää?

Miten voimme parantaa sitä?

Kiitos palautteestasi!

Osio 3. Luku 1
some-alt