Oppiskele Derivaattojen Perusteet | Matemaattinen Analyysi

Määritelmä

Derivaatta on mitta siitä, miten funktio muuttuu, kun sen syöte muuttuu. Se kuvaa funktion muutosnopeutta ja on keskeinen ilmiöiden analysoinnissa, prosessien optimoinnissa ja käyttäytymisen ennustamisessa esimerkiksi fysiikassa, taloustieteessä ja koneoppimisessa.

Derivaatan raja-arvomääritelmä

Funktion $f(x)$ derivaatta tietyssä pisteessä $x = a$ määritellään seuraavasti:

\lim_{h \rarr 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}

Tämä kaava kertoo, kuinka paljon $f(x)$ muuttuu, kun teemme hyvin pienen askeleen $h$ x-akselilla. Mitä pienemmäksi $h$ tulee, sitä lähemmäs pääsemme hetkellistä muutosnopeutta.

Derivoinnin perussäännöt

Potenssisääntö

Jos funktio on $x$ :n potenssi, derivaatta määräytyy seuraavasti:

\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}

Tämä tarkoittaa, että derivoitaessa eksponentti tuodaan alas ja vähennetään yhdellä:

\frac{d}{dx}x^3=3x^2

Vakiosääntö

Minkä tahansa vakion derivaatta on nolla:

\frac{d}{dx}C=0

Esimerkiksi, jos $f(x) = 5$ , niin:

\frac{d}{dx}5=0

Summan ja erotuksen sääntö

Funktioiden summan tai erotuksen derivaatta määräytyy seuraavasti:

\frac{d}{dx} \left[ f(x) \pm g(x) \right] = f'(x) \pm g'(x)

Esimerkiksi derivoidaan erikseen:

\frac{d}{dx}(x^3 + 2x) = 3x^2 + 2

Tulon ja osamäärän säännöt

Tulon sääntö

Jos kaksi funktiota kerrotaan keskenään, derivaatta lasketaan seuraavasti:

\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Tämä tarkoittaa, että derivoidaan kumpikin funktio erikseen ja summataan tulot. Jos $f(x)=x^2$ ja $g(x) = e^x$ , niin:

\frac{d}{dx}[x^2e^x] = 2xe^x + x^3e^x

Osamääräsääntö

Kun jaetaan funktioita, käytä:

\frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}

Jos $f(x)=x^2$ ja $g(x)=x+1$ , niin:

\frac{d}{dx} \left[ \frac{x^2}{x + 1} \right] = \frac{2x(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2}

Ketjusääntö: Yhdistettyjen funktioiden derivointi

Kun derivoidaan sisäkkäisiä funktioita, käytä:

\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Esimerkiksi, jos $y = (3x + 2)^5$ , niin:

\frac{d}{dx}(3x+2)^5 = 5(3x+2)^4 \cdot 3 = 15(3x+2)^4

Tämä sääntö on olennainen hermoverkoissa ja koneoppimisalgoritmeissa.

Eksponentiaalisen ketjusäännön esimerkki:

Kun derivoidaan seuraavanlainen lauseke:

y =e^{2x^2}

Kyseessä on yhdistetty funktio:

Ulkofunktio: $e^u$
Sisäfunktio: $u = 2x^2$

Sovella ketjusääntöä vaiheittain:

\frac{d}{dx}2x^2=4x

Kerro sitten alkuperäisellä eksponenttifunktiolla:

\frac{d}{dx}\left( e^{2x^2} \right) = 4x \cdot e^{2x^2}

Lisätietoa

Koneoppimisessa ja neuroverkoissa tämä ilmenee eksponentiaalisten aktivaatioiden tai tappiofunktioiden yhteydessä.

Logaritmisen ketjusäännön esimerkki:

Derivoidaan $\ln(2x)$ . Kyseessä on jälleen yhdistetty funktio — logaritmi ulkofunktiona, lineaarinen sisäfunktiona.

Derivoi sisäosa:

\frac{d}{dx}(2x)=2

Sovella nyt ketjusääntöä logaritmiin:

\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{1}{2x} \cdot 2

Joka sievenee muotoon:

\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}

Huomio

Vaikka derivoisit $\ln(kx)$ , tulos on aina $\frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}}$ , koska vakiot supistuvat pois.

Erikoistapaus: Sigmoidifunktion derivaatta

Sigmoidifunktiota käytetään yleisesti koneoppimisessa:

\sigma(x) = \frac{1}{1+x^{-x}}

Sen derivaatalla on keskeinen rooli optimoinnissa:

\sigma'(x) = \sigma(x)(1 - \sigma(x))

Jos $f(x) = \frac{\raisebox{1pt}{$1$}}{\raisebox{-3pt}{$1 + e^{-x}$}}$ , niin:

f'(x) = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2}

Tämä kaava varmistaa, että gradientit pysyvät tasaisina koulutuksen aikana.

Oliko kaikki selvää?

Kiitos palautteestasi!

Osio 3. Luku 3

Kysy tekoälyä

Kysy mitä tahansa tai kokeile jotakin ehdotetuista kysymyksistä aloittaaksesi keskustelumme

Suggested prompts:

Can you explain the limit definition of a derivative with a simple example?

How do the product, quotient, and chain rules differ in practice?

Can you show how to find the derivative of a more complex function using these rules?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Pyyhkäise näyttääksesi valikon