Oppiskele Rajoen Toteuttaminen Pythonissa

Ennen kuin tarkastellaan, miten raja-arvot käyttäytyvät visuaalisesti, on tärkeää tietää, miten laskea ne suoraan käyttämällä sympy-kirjastoa. Tässä on kolme yleistä raja-arvotyyppiä, joita kohtaat.

1. Äärellinen raja-arvo

Tämä esimerkki esittää funktion, joka lähestyy tiettyä äärellistä arvoa kun $x \to 2$ .


              12345678
            
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (x**2 - 4) / (x - 2)

# Compute the limit as x approaches 2
limit_value = sp.limit(f, x, 2)
print("Limit of f(x) as x approaches 2:", limit_value)

2. Raja-arvoa ei ole olemassa

Tässä funktio käyttäytyy eri tavoin vasemmalta ja oikealta puolelta, joten raja-arvoa ei ole olemassa.


              1234567891011
            
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (2 - x)

# Compute the limit as x approaches infinity and negative infinity
left_limit = sp.limit(f, x, -sp.oo)
right_limit = sp.limit(f, x, sp.oo)

print("Left-hand limit:", left_limit)
print("Right-hand limit:", right_limit)

3. Ääretön raja-arvo

Tämä esimerkki havainnollistaa funktiota, joka lähestyy nollaa kun (x) kasvaa äärettömän suureksi.


              12345678
            
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = 1 / x

# Compute the limit as x approaches infinity
limit_value = sp.limit(f, x, sp.oo)
print("Limit of 1/x as x approaches infinity:", limit_value)

Nämä lyhyet koodiesimerkit havainnollistavat, kuinka sympy.limit()-funktiota käytetään erilaisten raja-arvojen laskemiseen – äärellisten, määrittelemättömien ja äärettömien – ennen niiden graafista tarkastelua.

Funktioiden määrittely

f_diff = (2 - x)  # Approaches 2 as x → -∞ and -∞ as x → +∞
f_same = 1 / x  # Approaches 0 as x → ±∞
f_special = sp.sin(x) / x  # Special limit sin(x)/x

f_diff: yksinkertainen lineaarinen funktio, jossa vasemman- ja oikeanpuoleiset raja-arvot eroavat toisistaan;
f_same: klassinen käänteisfunktio, joka lähestyy samaa raja-arvoa molemmilta puolilta;
f_special: tunnettu raja-arvo analyysissä, jonka arvo on 1 kun $x \to 0$ .

Nollalla jakamisen käsittely

y_vals_same = [f_same.subs(x, val).evalf() if val != 0 else np.nan for val in x_vals]
y_vals_special = [f_special.subs(x, val).evalf() if val != 0 else 1 for val in x_vals]

Funktiossa f_same = 1/x esiintyy ongelma kohdassa $x = 0$ (nollalla jakaminen), joten korvaamme tämän arvolla NaN (Not a Number) virheiden välttämiseksi;
Funktiolle f_special tiedämme, että $\lim_{\raisebox{-1pt}{$x \to 0$}}\frac{\raisebox{1pt}{$sin(x)$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}} = 1$ , joten asetamme arvoksi $1$ , kun $x = 0$ .

Vaakasuorien asymptottien piirtäminen

axs[1].axhline(0, color='blue', linestyle='dashed', linewidth=2, label='y = 0 (horizontal asymptote)')
axs[2].axhline(1, color='red', linestyle='dashed', linewidth=2, label=r"$y = 1$ (horizontal asymptote)")

Funktiolla 1/x on vaakasuora asymptotti kohdassa $y = 0$ ;
Funktio sin(x)/x lähestyy arvoa $y = 1$ , joten lisäämme katkoviivan punaisen viivan havainnollistamaan tätä.

Oliko kaikki selvää?

Kiitos palautteestasi!

Osio 3. Luku 2

Kysy tekoälyä

Kysy mitä tahansa tai kokeile jotakin ehdotetuista kysymyksistä aloittaaksesi keskustelumme

Suggested prompts:

Can you explain more about how to interpret the results of these limits?

What is the significance of horizontal asymptotes in these examples?

Could you provide more details about the special limit involving sin(x)/x?

Awesome!

Completion rate improved to 1.96

Pyyhkäise näyttääksesi valikon