Oppiskele Rajoen Toteuttaminen Pythonissa

Ennen kuin tarkastellaan, miten raja-arvot käyttäytyvät visuaalisesti, on tärkeää tietää, miten laskea ne suoraan käyttämällä sympy-kirjastoa. Tässä on kolme yleistä raja-arvotyyppiä, joita kohtaat.

1. Äärellinen raja-arvo

Tämä esimerkki esittää funktion, joka lähestyy tiettyä äärellistä arvoa kun $x \to 2$ .


              12345678
            
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (x**2 - 4) / (x - 2)

# Compute the limit as x approaches 2
limit_value = sp.limit(f, x, 2)
print("Limit of f(x) as x approaches 2:", limit_value)

2. Raja-arvoa ei ole olemassa

Tässä funktio käyttäytyy eri tavoin vasemmalta ja oikealta puolelta, joten raja-arvoa ei ole olemassa.


              1234567891011
            
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = (2 - x)

# Compute the limit as x approaches infinity and negative infinity
left_limit = sp.limit(f, x, -sp.oo)
right_limit = sp.limit(f, x, sp.oo)

print("Left-hand limit:", left_limit)
print("Right-hand limit:", right_limit)

3. Ääretön raja-arvo

Tämä esimerkki havainnollistaa funktiota, joka lähestyy nollaa kun (x) kasvaa äärettömän suureksi.


              12345678
            
import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
f = 1 / x

# Compute the limit as x approaches infinity
limit_value = sp.limit(f, x, sp.oo)
print("Limit of 1/x as x approaches infinity:", limit_value)

Nämä lyhyet koodiesimerkit havainnollistavat, kuinka sympy.limit()-funktiota käytetään erilaisten raja-arvojen laskemiseen – äärellisten, määrittelemättömien ja äärettömien – ennen niiden graafista tarkastelua.

Funktioiden määrittely

f_diff = (2 - x)  # Approaches 2 as x → -∞ and -∞ as x → +∞
f_same = 1 / x  # Approaches 0 as x → ±∞
f_special = sp.sin(x) / x  # Special limit sin(x)/x

f_diff: yksinkertainen lineaarinen funktio, jossa vasemman- ja oikeanpuoleiset raja-arvot eroavat toisistaan;
f_same: klassinen käänteisfunktio, joka lähestyy samaa raja-arvoa molemmilta puolilta;
f_special: tunnettu raja-arvo analyysissä, jonka arvo on 1 kun $x \to 0$ .

Nollalla jakamisen käsittely

y_vals_same = [f_same.subs(x, val).evalf() if val != 0 else np.nan for val in x_vals]
y_vals_special = [f_special.subs(x, val).evalf() if val != 0 else 1 for val in x_vals]

Funktiossa f_same = 1/x esiintyy ongelma kohdassa $x = 0$ (nollalla jakaminen), joten korvaamme tämän arvolla NaN (Not a Number) virheiden välttämiseksi;
Funktiolle f_special tiedämme, että $\lim_{\raisebox{-1pt}{$x \to 0$}}\frac{\raisebox{1pt}{$sin(x)$}}{\raisebox{-1pt}{$x$}} = 1$ , joten asetamme arvoksi $1$ , kun $x = 0$ .

Vaakasuorien asymptottien piirtäminen

axs[1].axhline(0, color='blue', linestyle='dashed', linewidth=2, label='y = 0 (horizontal asymptote)')
axs[2].axhline(1, color='red', linestyle='dashed', linewidth=2, label=r"$y = 1$ (horizontal asymptote)")

Funktiolla 1/x on vaakasuora asymptotti kohdassa $y = 0$ ;
Funktio sin(x)/x lähestyy arvoa $y = 1$ , joten lisäämme katkoviivan punaisen viivan havainnollistamaan tätä.

Oliko kaikki selvää?

Kiitos palautteestasi!

Osio 3. Luku 2

Kysy tekoälyä

Kysy mitä tahansa tai kokeile jotakin ehdotetuista kysymyksistä aloittaaksesi keskustelumme

Pyyhkäise näyttääksesi valikon