Summary  
This chapter derives the t-statistic by combining the difference in sample means, the pooled variance estimate, and the sample sizes into a single formula for comparison.  

General domain of usage  
Statistical hypothesis testing

t-testin tehtävänä on selvittää, onko kahden otoksen keskiarvojen välinen ero merkittävä. Mitä asioita tulisi ottaa huomioon testiä suoritettaessa?  

Luonnollisesti tulisi huomioida **keskiarvojen välinen ero**.

Kuten alla olevasta kuvasta näkyy, myös **varianssilla** on merkitystä.

Lisäksi jokaisen otoksen **koko** tulee ottaa huomioon.

**Keskiarvojen erotuksen** huomioimiseksi lasketaan yksinkertaisesti tuo erotus:

$$
\bar{x}_1-\bar{x}_0
$$

Tilanne monimutkaistuu, kun tarkastellaan **varianssia**. t-testi olettaa, että molempien otosten varianssi on sama. Tätä käsitellään tarkemmin luvussa *t-testin oletukset*. Kahden otoksen varianssin arviointiin käytetään **yhdistetyn varianssin** kaavaa.

$$
s^2_{pooled} = \frac{s^2_1 \cdot df_1 + s^2_2 \cdot df_2}{df_1 + df_2} = \frac{s^2_1(n_1-1)+s^2_2(n_2-1)}{n_1+n_2-2}
$$

Missä:
- $$n_1$$ – i:nnen otoksen koko;
- $$df_1 = n_i - 1$$ – i:nnen vapausaste;
- $$s_{\raisebox{-1pt}{i}}^{\raisebox{1pt}{2}}$$ – i:nnen otoksen varianssi.

**Koon** huomioimiseksi tarvitaan otoskoot:

$$
n_1, n_2 - \text{ovat otoskoot}
$$


Yhdistä kaikki **t-tilastoon**.

$$
t = \frac{\bar{x}_1-\bar{x}_0}{\sqrt{s^2_{pooled}}\ \cdot\ \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}
$$

Otoksen kokoja ei aina käytetä kaikkein intuitiivisimmalla tavalla. Tämä lähestymistapa kuitenkin varmistaa, että **t** noudattaa **t-jakaumaa**, jota käsitellään seuraavassa luvussa.

Mitä otoksen ominaisuuksia t-testi ottaa huomioon?

Rakenna vahva tilastotieteen perusta Pythonilla. Opiskele keskeiset tilastolliset käsitteet ja sovella niitä NumPyn ja pandasin avulla. Siirry perusmittareista, kuten keskiarvosta ja varianssista, hypoteesitesteihin, luottamusväleihin ja datalähtöisiin oivalluksiin käytännön harjoitusten kautta.

Tutustu tilastotieteen keskeisiin periaatteisiin, mukaan lukien tietotyypit, keskiluvut sekä keskeiset erot otosten ja perusjoukkojen välillä.

Opi laskemaan ja tulkitsemaan keskiarvo, mediaani ja moodi Pythonilla. Harjoittele näitä operaatioita pandas-kirjastolla analysoidaksesi oikeita tietoaineistoja.

Ymmärrä, miten varianssi ja keskihajonta mittaavat aineiston hajontaa. Opiskele laskemaan molemmat sekä käsin että Python-työkaluilla.

Tutustu siihen, miten kovarianssi ja korrelaatio kuvaavat muuttujien välisiä suhteita. Harjoittele molempien mittareiden laskemista ja vertailua Pythonilla.

Hallitse luottamusvälit populaatioparametrien arvioimiseksi. Käytä NumPya, pandas-kirjastoa ja visualisointikirjastoja luottamusvälien laskemiseen ja tulkintaan oikean datan avulla.

Opi hypoteesin testauksen ja t-testin perusteet. Ymmärrä, kuinka testejä suunnitellaan, suoritetaan ja tulkitaan Pythonin avulla tietoon perustuvien päätösten tukemiseksi.

T-testi matemaattisesti